Determine si la siguiente Ecuación Diferencial es Homogénea y su grado, si lo es, resuélvala

(𝒙 - 𝒚)𝒅𝒚 - (𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 = 𝟎;  colocamos h delante de cada variable:

(h𝒙 - h𝒚)𝒅𝒚 - (h𝒙 + h𝒚)𝒅𝒙 = 𝟎;  factorizo:

h [(𝒙 - 𝒚)𝒅𝒚 - (𝒙 + 𝒚)]𝒅𝒙 = 𝟎;  igual a la inicial al pasar h dividiendo a 0:  es Homogénea de 1° grado de homogeneidad.

Hacemos:  x = vy;  dx= vdy + ydv;  reemplazo:

(vy - 𝒚)𝒅𝒚 - (vy + 𝒚)(vdy + ydv) = 𝟎;  o:  

(vy - 𝒚)𝒅𝒚 - (v^2ydy + yvdy + y^2vdv+y^2dv) = 0;

y(v-1)dy - y (v^2dy + vdy + yvdv + ydv) = 0;  simplifico:

(v-1)dy - (v^2dy + vdy + yvdv + ydv) = 0;

vdy - dy - v^2dy - vdy - yvdv - ydv = 0; simplifico:

- dy - v^2dy  - yvdv - ydv = 0;  factorizo:  -(1+v^2)dy - y(v+1)dv = 0;

(-v^2 -1) dy = y(v+1)dv;

dy/y = [(v+1) / (-v^2-1) ]dv;  o:  

dy/y = - [(v+1) / (v^2+1)];  para integrar, a la derecha por fracciones simples:

dy/y = -{ [v/(v^2+1)] + [1/(v^2+1)] } dv;  la primera logarítmica, la segunda directa:

ln y = - (1/2)*ln (v^2+1)  + tan^(-1) v  + C;  devuelvo variable:

ln y = [ tan^(-1) (x/y)] - (1/2)*[ln (x/y)^2+1] + C