Ecuaciones Diferenciales. Series de potencia

Me imagino es una edo homogénea, suponiendo eso

$$\begin{align}&y = \sum_{n\geq0}a_nx^n\\&y' = \sum_{n\geq0}a_nnx^{n-1}\\&y''=  \sum_{n\geq0}a_nn(n-1)x^{n-2}\\&\\& \sum_{n\geq0}a_n\left[(2+x)n(n-1)x^{n-2} +xnx^{n-1}+3x^n\right] = 0\\&  \sum_{n\geq0}a_n\left[2n(n-1)x^{n-2} + n(n-1)x^{n-1} +nx^n+3x^n\right] = 0\\&  \sum_{n\geq0}a_n 2n(n-1)x^{n-2}+    \sum_{n\geq0}a_n  n(n-1)x^{n-1} +  \sum_{n\geq0}a_n (n+3)x^n=0\\&\\&\text{Para la primera serie hacemos el cambio }  k=n-2\\&\text{Para la segunda hacemos el cambio } j = n-1\\&\\&  \sum_{k\geq-2} 2a_{k+2}(k+2)(k+1)x^k + \sum_{j\geq-1}a_{j+1}(j+1)jx^j +  \sum_{n\geq0}a_n (n+3)x^n = 0\\&\\&\text{Para la primera suma, para k= -2,-1 los terminos son 0, lo mismo sucede en la}\\&\text{segunda serie con j = -1. Podemos empezar entonces en k=0 y j=0}\\&\text{Ademas, la j y la k son ``dummy variables". Podemos cambiarlas por n y queda}\\& \sum_{n\geq0} [2a_{n+2}(n+2)(n+1) +a_{n+1}(n+1)n+ a_n (n+3)] x^n = 0 \\&2a_{n+2}(n+2)(n+1) +a_{n+1}(n+1)n+ a_n (n+3)=0\end{align}$$

Haciendo los cálculos a mano no parece que haya una forma sencilla de escribir los términos, así que o cometí un error en alguna operación(que puede ser pero no encuentro el fallo si lo hice) ó, no es homogenea... De cualquier forma siempre sigues estos pasos