Calcular la integral de Línea

Debido al camino que vamos a recorrer podemos reescribir la integral como

$$\begin{align}&\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos t} \, dt = \int_0^\pi \cos \frac{t}{2} \, dt  + \int_\pi^{2\pi}-  \cos \frac{t}{2} \,dt\end{align}$$

Para escribir una parametrizacion podemos completar cuadrados y nos queda

$$\begin{align}&\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{a^2}{4}\\&x(t) = \frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cos t\\&y(t) = \frac{a}{2}\sin t\end{align}$$

Por tanto al parametrizar ese camino la integral de linea nos queda como

$$\begin{align}&\int_0^{2\pi} \sqrt{a} \sqrt{\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cos t} \sqrt{\frac{a^2}{4}\cos^2t+\frac{a^2}{4}\sin^2 t} \, dt\\&\sqrt{a}\sqrt{\frac{a}{2}}\frac{a}{2} \int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos t} \, dt\end{align}$$

donde la primera raiz se obtiene de sustituir el valor de x por suexpresion respecto de x y la otra raiz viene de calcular el modulo del diferencial ds al usar la parametrizacion que usamos anteriormente. Para resolver esa integral que nos queda podemos ver que se parece a una identidad que contiene el coseno del angulo doble

$$\begin{align}&\cos ^2 t =\frac{1+\cos t}{2}\end{align}$$

Sin embargo debemos tener cuidado cuando pasemos el cuadrado como raiz, porque puede ser positivo o negativo segun el signo que tenga el coseno. Por ese motivo debemos separar a trozos la integral de forma que coloquemos los signos acordes a como aparezca el cos(t/2) en este caso

$$\begin{align}&\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos t}\, dt = \sqrt{2}\left[ \int_0^\pi \cos \frac{t}{2} \, dt + \int_\pi^{2\pi} - \cos \frac{t}{2} \, dt \right]\end{align}$$

Nota que con esos signos nos garantizamos que las integrales de la derecha sean no negativas y por tanto esa igualdad es cierta. Solo queda resolver esas integrales y sustituirlas arriba.