Como puedo resolver este punto por inducción matemática

Primer paso demostrar que es válida para n=1:

1*3= (3/4) {[(2-1)*3^1] + 1};  3 = (3/4) * (3+1);  3=3;  es válido.

Segundo paso, reescribir como Hipótesis la consigna cambiando n por k:

 1*3 + 2*3^2 + ... + k*3^k = (3/4) [(2k - 1)*3^k + 1]

Tercer paso (Tesis), demostrar que es válida para k+1 (sumando un término más a ambos lados de la igualdad):

 1*3 + 2*3^2 + ... + k*3^k + (k+1)*3^(k+1) = {(3/4) [(2k - 1)*3^k + 1]} + (k+1)*3^(k+1);

Debemos demostrar que:

{(3/4) [(2k - 1)*3^k + 1]} + (k+1)*3^(k+1) = (3/4) (({[2(k+1) - 1]*3^(k+1)} + 1 )); 

Como:  3^(k+1)=3*3^k:

{(3/4) [(2k - 1)*3^k + 1]} + 3*(k+1)*3^k = (3/4) (({[2(k+1) - 1]*3*3^k} + 1 )); 

(3/4) multiplicando todo a la izquierda:

{(3/4) [(2k - 1)*3^k + 1] + 4*(k+1)*3^k }= (3/4) (({[2(k+1) - 1]*3*3^k} + 1 ));  Simplifico (3/4):

(2k - 1)*3^k + 1 + 4*(k+1)*3^k = {[2(k+1) - 1]*3*3^k} + 1;  simplifico +1 de ambos lados:

(2k - 1)*3^k  + 4*(k+1)*3^k = [2(k+1) - 1]*3*3^k;  opero:

(2k - 1)*3^k + (4k+4)*3^k = (2k+2-1)*3*3^k;   factor común 3^k:

3^k* (2k-1 + 4k + 4) = 3^k* 3*(2k+1);  simplifico:

(2k-1 + 4k + 4) = 3*(2k+1);  opero:

6k +3 = 6k+3;  quedando demostrada la igualdad y por ende la inducción.