Cómo se demuestra que todo disco, abierto o cerrado, es convexo?
Probar que todo disco abierto o cerrado, es un conjunto convexo. Considerando la distancia y dos puntos distintos.
1 respuesta
Respuesta de Alejandro Salazar
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La definición de un disco cerrado es el conjunto de puntos que satisfacen
$$\begin{align}&\left\lVert x\right\rVert= \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\leq R\end{align}$$Por otro lado, un conjunto es convexo si para cualquier par de puntos en dicho conjunto (supongamos x e y) satisfacen que
$$\begin{align}&\lambda_1x+\lambda_2y\end{align}$$pertenece al conjunto con lambda_1+lambda_2=1 y lambda_1,lambda_2>0
Puedes usar la desigualdad triangular para probar que
$$\begin{align}&\left\lVert \lambda_1x + \lambda_2 y\right\rVert\leq\lambda_1 \left\lVert x \right\rVert+\lambda_2 \left\lVert y\right\rVert\end{align}$$y como ambos puntos pertenecen al disco, entonces se comprueba que esta combinacion lineal tambien pertenece al conjunto.
