Integrales matemáticas, ecuaciones logarítmicas y números naturales

A ver, primero me imagino que se trata del logaritmo al cuadrado de p ya que logaritmo al cuadrado no es nada.
El método de realizar esta integral, se hace con la integración por partes (no se como la llamaran en tu país, se que en varios lugares se llama distinta pero es la clásica fórmula de "un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme, es decir: int(u*dv)=u*v-int(v*du)"
Entonces escribimos tu integral de otra forma.
I = int(ln(p)*ln(p) *dp)
Luego necesitamos averiguar u y dv. Nos faltaría por conocer du y v.
Entonces establecemos
u=ln(p) y diferenciando tenemos: du=1/p dp.
y
dv=ln(p)dp e integrando tenemos:
v=p*Ln(p)-p (te recomiendo aprenderte esta integral del logaritmo de memoria, pero de todas maneras se puede demostrar fácilmente ocupando integración por partes).
Entonces reemplazamos en nuestra fórmula conocida, quedando
I = ln(p)*(p*ln(p)-p) - int((p*ln(p)-p)*1/p)*dp)
resolviendo un poco:
I=ln(p)*(p*ln(p)-p)-int(ln(p)-1*dp)
Resolvemos otro poco mas
I= p*(ln(p))^2-p*ln(p)-int(ln(p)-1*dp)
Podemos notar que esta integral ya es facil de calcular y nos quedaria:
I= p*(ln(p))^2-p*ln(p)-((p*ln(p)-p)-p)
I= p*(ln(p))^2-p*ln(p)-(p*ln(p)-2p)
I=p*(ln(p))^2-p*ln(p)-p*ln(p)+2p)
I = p*(ln(p))^2-2*p*ln(p)+2p) + c
que es el resultado de la integral que buscabas.
Ahora, esta integral es definida. Por ley sabemos que en las integrales que se resuelven de esta manera, no es necesario hacer reemplazo de los limites de integración.
Entonces ocupamos el segundo teorema fundamental del calculo (supongo que lo conoces)
I=(1*(ln(1))^2-2*1*ln(1)+2*1))-
(e*(ln(e))^2-2*e*ln(e)+2*e))
como ln(1)=0 tenemos
2-(e*(ln(e))^2-2*e*ln(e)+2*e)) que seria el resultado.
Nota: quizás haya que desarrollar más el resultado, más la forma de integrar es esa y corroboré el resultado.