Volumen de un cono

Ya sea para calcular volúmenes o preparar un sándwich de salame la cuestión es la misma: hay que tener las rodajas adecuadas.
Imagina la figura cuyo volumen quieres calcular, en este caso: el cono.
El eje del cono coincide con el eje z. Al eje z lo pondremos vertical, quedando el plano xy horizontal.
Nuestro cono tiene la punta para abajo. Su vértice coincide con el origen de coordenadas.
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Digresión: que bien vendrían aquí unas imágenes 3D de realidad virtual, tal vez hologramas como los de la Guerra de las Galaxias ... y este software no nos permite hacer ni un simple dibujito ¡! Bueno, sigamos.
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La coordenada z de cada punto es su altura sobre el plano xy.
Cada conjunto de puntos con z=cte forman un plano horizontal paralelo al plano xy.
Bien, cuando uno de estos planos horizontales, z=cte, corta nuestro cono
¿Qué figura plana se forma en la intersección?
> > > Sí, un círculo. No hay duda.
Ahora bien, estos círculos tienen área pero no tienen volumen.
El área es, como todos sabemos, Pi por radio al cuadrado:
Area=Pi.R^2
La cuestión es ahora ¿Cuál es el radio de cada círculo?
Depende de z. Cuanto mayor sea z, más grande será el radio R del círculo.
Para calcularlo tenemos que tener en cuenta al ángulo de apertura del cono, o sea el ángulo entre el eje del cono y una cualquiera de las generatrices.
A este ángulo lo llamaré alfa
En cada circulo el radio R de un forma con el eje z del cono y la correspondiente generatriz, un triangulo rectángulo.
El cateto horizontal mide R y el cateto vertical mide z.
La tangente de alfa vale R/z
R/z=tg(alfa)
de aquí obtenemos R en función de z
R= z tg(alfa)
El radio de cada círculo es proporcional a z siendo tg(alfa) la constante de proporcionalidad.
Entonces, reemplazando R, el área de los círculos resulta:
Área =Pi.R^2=Pi.tg^2(alfa).z^2
Hemos puesto el área de los círculos como función de z
Para que tengan volumen hay que darles cierta altura, muy pequeña para que R no varíe mucho. Cada rodaja debe tener una altura infinitesimal, diferencial. Un diferencial de z : dz
Ya tenemos nuestras rodajas, con
Área = tg ^2(alfa) z^2
Altura=dz
El volumen(diferencial) de cada rodaja es el producto de área por altura:
Pi (tg alfa)^2 z^2.dz
Para obtener el volumen total del cono hay que integrar, entre z=0 y z= H, siendo H la altura (máxima) del cono:
__ H_
Integral Pi (tg alfa)^2 z^2.dz = 1/3 Pi (tg alfa)^2 H^3
__0_
Como el producto de (tg alfa) por H es Rmax, el radio de la base del cono podemos expresar el volumen en términos de Rmax así:
1/3 Pi Rmax^2 H
Es decir el área de la base (Pi Rmax^2 ) por la altura H sobre tres.
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Procedimiento general
Se toma la intersección del cuerpo dado con un plano z=cte
De esa figura necesitamos saber su área en función de z
Integramos esa función de z con los limites de integración adecuados dados por las dimensiones de cuerpo cuyo volumen queremos calcular.
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Aclaración : para el cálculo del volumen es lógico dar por conocidas las fórmulas que dan las áreas de las figuras planas que se forman, este caso círculos. No tiene sentido ponerse a deducir por integración que el área de un círculo es Pi por radio al cuadrado. Eso es lógico darlo por sentado. Observa que no he escrito ninguna fórmula con por e y. De no proceder así aparecerían integrales dobles bastante más complicadas de manejar.
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Al calcular, por ejemplo, el área de pirámides se forman triángulos de área=base por altura/2.
En el volumen de la esfera también hay que integrar áreas de círculos. Por supuesto que la relación entre z y R es distinta.
El cono y la esfera son casos particulares de los volúmenes de revolución, para los cuales el método es esencialmente el mismo.
Un cordial saludo,
eudemo