Ejercicios de integración

a) Tenemos cuatro planos paralelos al eje Z que limitan la función que es el quinto plano.
El volumen es la integral doble del quinto plano en el dominio formado por los cuatro planos.
Además se comprueba que en ese dominio el quinto plano no cambia de signo, únicamente pasa de refilón por el punto (2,3,0), en el resto del dominio es positivo.
V = $$(5-x-y)dxdy en [0, 2] x [0, 3] =
= ${(5x - (x^2)/2 - yx) en x € [0, 2]}dy en y € [0,3] =
= $(10 - 4 - 2y - 5·0 + 0/2 + y·0)dy en y € [0,3] =
= $(6 - 2y)dy en y € [0,3] =
= 6y - y^2 en y € [0,3] =
= 18 - 9 - 6·0 + 0 =
= 9
------------------
b) El cilindro no es un cilindro esférico, es parabólico por lo que veo, por lo tanto no es cerrado. Pero la región quedará cerrada con el cilindro, el plano z = 0 y el plano y+4z = 8 que se cortan en la recta y=8. El cilindro es recto, paralelo al eje Z.
El dominio en el que dedemos integrar es la parábola y = x^2 hasta que la y vale 8, o sea, en x € [-sqrt(8), sqrt(8)] y en y € [x^2, 8]. La función a integrar es el plano, y +4z = 8 ==> z = f(x,y) = 2 - y/4
Y el volumen será:
$${(2 - y/4)dy en y €[x^2, 8]}dx en x € [-sqrt(8), sqrt(8)] =
${2y - (y^2)/8 en y €[x^2, 8]}dx en x € [-sqrt(8), sqrt(8)] =
${16 - 64/8 - 2x^2 + (x^4)/8}dx en x € [-sqrt(8), sqrt(8)] =
${8 - 2x^2 + (x^4)/8}dx en x € [-sqrt(8), sqrt(8)] =
8x - (2/3)x^3 + (1/40)x^5 en x € [-sqrt(8), sqrt(8)] =
llamemos a = sqrt(8), tener en cuenta que a^3 = 8a y a^5 = 64a
8a - (2/3)a^3 + (1/40)a^5 + 8a - (2/3)a^3 + (1/40)a^5 =
16a - (4/3)a^3 + (1/20)a^5 =
16a -(4/3)8a +(1/20)64a =
(16 - 32/3 + 5/16) a =
(16·48 - 32·16 + 5·3)a / 48 =
271a / 48 =
271·sqrt(8) / 48 = 15,968828 u^3
Y eso es todo, que pesado se hace escribir con este editor tan malo. Si tienes alguna duda pregúntamela. No te he podido mandar el dibujo del cilindro-plano porque mis programas de graficar se vuelven locos con ese cilindro y lo dibujan mal. NO olvides puntuar.