Demostraciones de sucesiones
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas.
· Si determinas que una afirmación es verdadera, demuestra la afirmación.
· Si determinas que una afirmación es falsa, da un ejemplo que lo muestre (un ejemplo que cumpla las hipótesis de la afirmación, pero no cumpla la consecuencia).
En todos los casos considera las sucesiones en un espacio métrico (U, d).
a) Si una sucesión es acotada, entonces converge.
b) Si p es punto límite de una sucesión, entonces p es punto de acumulación de la sucesión.
c) Si Un------> U, y Vn----> v, entonces d(Un, Vn) -----> d(U, V)
2 Respuestas
El inciso (c) es verdadero.
Revisemos lo que dice: Si {Un} converge a u y {Vn} converge a v, entonces la sucesión formada por las distancias de {Un} a {Vn} converge a la distancia de u a v. Esto es verdadero.
Esto lo cumple el ejemplo que proporciona el profesor Valero. La sucesión de distancias estaría dada por:
d(Un, Vn) = |(2n)/(n+1) - 1| = (2n -n -1)/(n+1)| = |(n-1)/(n+1)|
Y ésta converge a 1, que es precisamente la distancia entre u y v (|2-1| = 1)
El problema es que el enunciado NO dice que la distancia de la sucesión Un a la sucesión Vn, tenga que ser igual a la distancia de u a v. Esto sí sería falso.
Y (c) se demuestra usando las propiedades de métrica y el hecho de que si una sucesión un converge a u, entonces la sucesión formada por las distancias de un a v, converge a cero
a) Falso.
La sucesión
an = (-1)^n está acotada pero no converge
b) Falso.
Tomemos la sucesión an = 1
El punto 1 es un punto límite de la sucesión pero no es de acumulación. Porque para que sea de acumulación debe ser que cualquier bola con centro en 1 tenga un punto de la sucesión distinto de 1, y tal punto no existe.
c) Falso.
La distancia de Un a Vn es la menor distancia entre dos elementos con el mismo índice de las dos sucesiones. Y esa distancia puede ser menor en algún índice finito que en el infinito
Ejemplo
Un = 1
Vn= (2n)/(n+1)
U = lim n-->oo Un = 1
V = lim n -->oo Vn = 2
d(U, V) = 1
pero d(Un,Vn) =0
ya que para n=1 tenemos U1=1 , V1=2(/1+1) = 1
con lo cual d(Un,Vn) = 0
Y eso ers todo.
Hola buenas tardes, muy bien y gracias por el apoyo.
Saludos.
No hagas caso a la nueva respuesta. El apartado C es falso.
La distancia entre do sucesiones se define como la menor distancia que tengan en todos sus términos correspondientes, no como la distancia a la que tiendan en el infinito.
¡Contesto aquí al comentario de Ninel!
NO es lo mismo la distancia entre dos sucesiones que el limite de la diferencia entre los términos homólogos.
Para la distancia entre las sucesiones se debe tener en cuenta la diferencia detodos los términos, ya que cualquiera de ellos puede ser el que define la distancia
d(Un, Vn) = inf {|Un-Vn| | n de N}
Y este ínfimo puede estar en el termino primero por ejemplo, o en el 22, no tiene porque estar en el infinito.
Mientras que el límite de la sucesión diferencia es la distancia a la que se tiende en el infinito.
Pero es que la distancia entre dos sucesiones es la menor distancia que haya, tanto en el finito como en el infinito.