Cálculo de probabilidades del sexo en nacimiento de bebés

No recuerdo si es a ti a quien hice hace pocos días un ejercicio de una distribución binomial, que se resolvía aproximando la distribución a una distribución normal. Ese era al menos que se usaba cuando estudiaba yo. Ahora ese método ha quedado completamente obsoleto, pero se sigue estudiando así, ya que si lo resolviéramos con ordenador no tendría ninguna gracia.

Todo se basa en que una binomial de n elementos con probabilidad p se puede aproximar por una distribución normal X cuya media es np y cuya desviación estándar es sqrt[np(1-p)]

Siempre que haya mas de 30 elementos y p no sea muy grande ni pequeño. En otras sitios se dice que la condición es que np y n(1-p) sean mayores que 5.

Bueno, aplicando eso la distribución normal que aproxima a la binomial es

X ~ N(200·0.5, sqrt(200·0.5·0.5)) =

N(100, 7.071067812)

a) Menos del 40% sean niños

El 40% de 200 es 80 luego debe ser menos 80 niños. En estas aproximaciones se tomaría 80.5 si entrara el 80 y 79.5 si no entra.

Entonces hay que calcular la probabilidad de que esa normal valga menor o igual a 79.5

Para ello al valor 79.5 le restaremos la media, lo dividiremos por la desviación y lo buscaremos en la tabla de una Z ~ N(0,1)

P(B<80) = P(X<=79.5) = P(Z <= (79.5-100)/7.071067812) =

P(Z <= -2.899137803) =

En las tablas no hay valores negativos pero por simetría de la normal se tiene

1- P(Z <= -2.899137803) =

Tabla(2.89) = 0.9981

Tabla(2.90) =0.9981

no hace falta calcular valores intermedios ya que en los extremos vale lo mismo

= 1 - 0.9981 = 0.0019

Luego la probabilidad de menos del 40% niños es 0.0019

b) Entre 43 y 57 sean niñas.

43% de 200 = 86

57% de 200 = 114

Esta vez valen el 43º y 57º Se toma el intervalo [85.5, 114.5]

Tipificamos estos valores

(85.5-100) / 7.071067812 = -2.050609665

(114.5-100) / 7.071067812 = 2.250609665

La probabilidad es el área de la curva entre esos dos valores

P(43<=B<=57) = P(Z<2.250609665) - P(Z<-2.250609665) =

como no hay tabla de valores negativos

= P(Z<2.250609665) - [1 -P(Z<2.250609665)] =

2P(Z<2.250609665) -1 =

Tabla(2.25) = 0.9878

= 2·0.9878 - 1 = 0.9756

c) Mas de 54º sean niños

El 54% de 200 es 108

Como el 54º no entra se toma la distribución normal X con X>108.5

Tipificamos ese valor

(108.5-100) / 7.071067812 = 1.202081528

P(>54º) = P(Z > 1.202081528) = 1 - P(Z <1.202081528) =

Tabla(1.20) = 0.8849

Tabla(1.21) = 0.8869

Valor interpolado(1.20208) = 0.8849 + 0.208(0.8869-0.8849) = 0.885316

= 1 - 0.885316 = 0.114684

Y eso es todo.