Hola, maestro, necesito de su valiosa ayuda para resolver esta ecuación diferencial
Esta es la ecuación:
$$y(2x^3-y^3 )dx+x(?2y?^3-x^3 )dy=0$$
Respuesta de Gabriel Hernandez Vargas
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Aah simple vista se ve que es una EDO de carácter homogénea, el orden de dicha ecuación es 4, por lo tanto se puede hacer la sustitución.
y = vx ----> dy = xdv + vdx
Nos queda.
$$\begin{align}&(2(vx)x^{3}-(xv)^{4})dx+(2x(vx)^{3}-x^{4})(vdx+xdv)=0\\ &(2x^{4}v-v^{4}x^{4})dx+(2v^{3}x^{4}-x^{4})(vdx+xdv)=0\\ &x^{4}vdx+x^{4}v^{4}dx+2x^{5}v^{3}dv-x^{5}dv=0\\ &x^{4}vdx+x^{4}v^{4}dx=x^{5}dv-2x^{5}v^{3}dv\\ &x^{4}(v+v^{4})dx=x^{5}(1-2v^{3})dv\\ &\frac{dx}{x}=\frac{(1-2v^{3})}{v(1+v^{3})}dv\\ &\\ &Integras-Var. Separables\\ &\\ &\int\frac{dx}{x}= \int\frac{(1-2v^{3})}{v(1+v^{3})}dv\\ &Ln(x)=\int\frac{dv}{v(1+v^{3})}-\int\frac{2v^{3}dv}{v(1+v^{3})}\\ &Ln(x)=\int\frac{dv}{v}-\int\frac{v^{2}dv}{(1+v^{3})}-2\int\frac{v^{2}dv}{(1+v^{3})}\\ &Ln(x)=Ln(v)-\frac{1}{3}Ln(1+v^{3})-\frac{2}{3}Ln(1+v^{3})+Ln(C)\end{align}$$Luego, volvemos a la variable original.
y=vx -----> v=y/x
$$\begin{align}&Ln(x)=Ln(v)-\frac{1}{3}Ln(1+v^{2})-\frac{2}{3}Ln(1+v^{3})+Ln(C)\\ &\\ &v=\frac{y}{x}\\ &\\ &Ln(x)=Ln(\frac{y}{x})-{1}{3}Ln(1+{(\frac{y}{x})}^3)-\frac{2}{3}Ln(1+(\frac{y}{x})^3)+Ln(C)\\ &\end{align}$$Luego despejas "C" y listo, las integrales las resolví la primera es directa y la segunda la separe quedándome una que hice por fracciones parciales y la otra sustitución simple.
