¿Cómo se resuelve una integral trigonométrica?

El 5 ya lo pondré al final si me acuerdo.

$$\int tg^4x·sec^3x\,dx= \int \frac{sen^4x}{\cos^7x}dx=$$

No se ve nada fácil, haberá que usar el cambio universal para las trigonométricas

t = tg(x/2)

Y en la teoría tendrás como se calculan los valores correspondientes a senx, cosx y dx

$$\begin{align}&t=tg \frac x2 \quad \quad senx = \frac{2t}{1+t^2}\\ &\\ &cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2}\quad dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\ &\\ &\text{la integral queda}\\ &\\ &\int \frac{\left( \frac{2t}{1+t^2} \right)^4 \frac{2dt}{1+t^2}}{\left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^7}=\int \frac{32t^4dt}{(1-t^2)^7}\end{align}$$

El denominador tiene siete veces la raíz 1 y siete veces la -1.

El método tradicional de descomponer en 14 fracciones más simples se te va a atragantar, ho hay ser humano capaz de plantear y resolver las 14 ecuaciones que surgen.

Se tendría que intentar por los métodos de Hermite u Ostrogradski. Son métodos que se estudian quien los estudie y acaba olvidándolos si no los usa con asiduidad.

¿Has estudiado alguno de ellos? Es que si no te suenan estás con una integral de nivel superior a lo que has estudiado y es muy difícil. Yo la dejaría si no es por obligación.

Y si quieres que la resuelva me tienes que dar tiempo para repasar y resolver si puedo, pero antes tendría que encontrar tiempo libre, porque estoy agobiado de preguntas y no sé cuándo podré dejar de estarlo.