Ecuaciones Diferenciales como modelos matemáticos

Pues hay que aplicar las leyes de Newton que dicen que el sumatorio de las fuerzas es la masa por la aceleración.

Las fuerzas que intervienen están todas en el eje Y y son la gravedad y la resistencia, ambas actúan en sentido inverso.

Espera, es que este es un ejercicio de física pura y dura. Son muchos los matemáticos que no les va la física. ¿Me pregunto yo si esa resistencia es solo la fuerza de rozamiento o si el empuje que recibe por el principio sde Arquímedes?

Por otro lado yo recuerdo que hicimos este problema en el aire, sin tener en consideración el empuje ya que es despreciable comparado con el que se sufre en un líquido y teniendo solo en cuenta el rozamiento.

Si me sacas de dudas sobre que se entiende por esa resistencia y si hay que añadir la fuerza del empuje, podría intentar resolverlo.

Hola Valeroasm mira como apoyo a esta duda que te hice tenemos lo siguiente :

De la materia de Física sabemos que la segunda ley de newton, está dada como F = ma, donde F es la fuerza aplicada, m es la masa del cuerpo y a es la aceleración producida por la fuerza. Si un cuerpo cae, por acción de la gravedad, la aceleración del cuerpo es a = -g, donde g es la aceleración de la gravedad. Además, recuerde que la fuerza F de la formula F = ma, en realidad es una fuerza resultante. En este problema el cuerpo cae por acción de su peso, pero hay una fuerza de fricción que se opone al movimiento, es decir tiene dirección contraria al movimiento del cuerpo, además esta fuerza de fricción o resistencia, es proporcional al cuadrado de la velocidad del cuerpo. Recuerde además que la aceleración se define como dv/dt. Con estas indicaciones no tendrá problemas en encontrar la ecuación diferencial. Ahora ordene los términos de la ED para ver si se ajustan a una estructura de las ED (bernoulli , separación , exacta), si es así resolverla.
Espero que con esta información me puedas ayudar Valeroasm Muchas Gracias por tu ayuda

Lo haré Lennik, pero ahora no tengo tiempo y estoy confuso. Es que he visto dos soluciones al problema. Con lo que tu me dices habría solo dos fuerzas, la gravedad y la fricción y sería un problema sencillo.

Pero si estas estudiando física o ingeniería seguramente el problema es más complicado e intervendrían tres fuerzas, la gravedad, la fricción y el empuje del líquido que es una fuerza hacia arriba proporcional al volumen del líquido desalojado. Es el famoso principio de Arquímedes.

La ley de Stokes dice que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad mientras que tu me dices que es proporcional a la velocidad al cuadrado. Entonces o el enunciado está mal o esa resistencia que dices no es solo la fricción e incluye el empuje de Arquímedes.

Creo que lo haré solo con las dos fuerzas, la de la gravedad y la que dice de resistencia que nombra que debe ser la que engloba todas. Aunque si puedes asegurate que es cierto que es proporcional al CUADRADO de la velocidad, que es lo que me está haciendo dudar de todo.

Si crees que puedes aclararme el tema escribe algo. Ya te digo que me pondré con el problema dentro de unas horas.

Hola Valeroasm agradezco tu atención te comento :

Que efectivamente, Con los datos que tenemos habría solo dos fuerzas, la gravedad y la fricción y sería un problema sencillo. ya que apenas nos estamos adentrando al tema y no creo que sea todavía con todas las fuerzas que deberían ejercerse.en si lo que deseamos es nada más obtener la ED y su resolución .asi que nos iremos por el camino que tu bien me indicas tomar solo en cuenta gravedad y fricción.

Saludos y Gracias de antemano por tu valioso tiempo y ayuda.

Atentamente Jesús MY ( Lennik )

Vamos con ello.

A será la aceleración y v la velocidad, ambas dependen del tiempo. Y la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

G la aceleración gravitatoria que 9,8 m/s^2

M es la masa

K la constante de proporcionalidad de la fuerza de resistencia

La suma de fuerzas en el eje Y será la masa por la aceleración en dicho ejem

F = ma = m·dv/dt = mg - kv^2

m·dv/dt = mg - kv^2

[m/(mg - kv^2)] dv = dt

Es una ecuación de variables separables aunque no inmediata.

$[m/(mg-kv^2)]dv =

La separaremos en dos fracciones sencillas de la forma

a/[sqrt(mg) - vsqrt(k)]; b/[sqrt(mg) + vsqrt(k)] que sumadas den la original.

Sumamos ambas fracciones con el algoritmo de la suma de fracciones. El denominador quedará igual, luego también debe hacerlo el numerador y cumplirse:

a[sqrt(mg) + vsqrt(k)] + b[sqrt(mg) - vsqrt(k)] = m

El termino en v no existe, luego

a·v·sqrt(k) - b·v·sqrt(k) = 0 ==>

a=b

a·sqrt(mg)+a·sqrt(mg) = m

a = m/[2sqrt(mg)] = (1/2)sqrt(m/g)

Y las integrales de las fracciones son estas dos:

-(1/2)sqrt(m/g)ln[sqrt(mg) - vsqrt(k)] / sqrt(k)

(1/2)sqrt(m/g)ln[sqrt(mg) + vsqrt(k)] / sqrt(k)

Sumadas y aplicadas todas las propiedades de los logaritmos tendremos

ln {[sqrt(mg) + vsqrt(k)] / [sqrt(mg) - vsqrt(k)]}^[(1/2)(sqrt(m/gk))]

Esto es el lado izquierdo, en el derecho habremos integrado y obtenido t+C.

ln ({[sqrt(mg) + vsqrt(k)] / [sqrt(mg) - vsqrt(k)]} ^ [(1/2)(sqrt(m/gk))]) = t + C

Se simplifica un poco si multiplicamos y dídimos por sqrt(k) en la base y por sqrt(m) en el exponente

ln ({[sqrt(mgk)+kv]/[sqrt(mgk)-kv]}^{m/[2sqrt(mgk)]}) = t + C

Ahora tenemos que imponer que para t=0 se tiene v=0

ln(1) = C

C = 0

Con eso solución particular es:

ln ({[sqrt(mgk)+kv]/[sqrt(mgk)-kv]}^{m/[2sqrt(mgk)]}) = t

Yo creo que incluso podemos despejar v

{[sqrt(mgk)+kv]/[sqrt(mgk)-kv]}^{m/[2sqrt(mgk)]} = e^t

[sqrt(mgk)+kv]/[sqrt(mgk)-kv] = e^[2t·sqrt(mgk)/m]

sqrt(mgk)+kv = [sqrt(mgk)-kv] e^[2t·sqrt(mgk)/m]

kv{1+e^[2t·sqrt(mgk)/m]} = sqrt(mgk) {-1 + e^[2t·sqrt(mgk)/m]}

v(t) = (1/k){-1+e^[2t·sqrt(mgk)/m]} / {1+e^[2t·sqrt(mgk)/m]}

Para simplificar al máximo, llamemos d = 2sqrt(mgk)/m

v(t) =(1/k) (-1+e^dt)/(1+e^dt)

el lim t-->+oo v(t) es (1/k) porque el 1 y -1 se hacen despreciables ante la magnitud de e^(+oo) quedando (1/k) ·e^(+oo) / e^(+oo) = 1/k

Luego la velocidad terminal es 1/k. Donde k era la constante de la fuerza de resistencia, es decir, la constante k que hacia que Fr = kv^2.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Yo creo que está bien hecho, pero un poco lioso sí a sido.