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3.140)
Hacemos uso de la sugerencia, aunque tampoco costaba mucho deducirla.
E(100(1/2)^Y) = 100E((1/2)^Y)
Pues esto es algo distinto a lo que hemos hecho hasta ahora
E((1/2)^Y = Sumatorio i = 0 hasta infinito de (e^(-2)·(2^i)/i!)(1/2)^(i) =
Fijate como se simplifican 2^i con (1/2)^i dando 1
e^(-2) Sumatorio i=0,infinito de 1/i! =
Y ese sumatorio es el número e, lo puedes ver aplicando la fórmula de Taylor a la función e^× y calculándola en el cero y aplicándola en el 1
e^× = 1 + × + ×^2/2! + ×^3/3! + ×^4/4! +....
e^1 = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
Luego
E(100(1/2)^Y) = 100e^(-2)·e = 100e^(-1) = 100/2,718281828...=36,78794412
Hay que ver qué pesado está el corrector con no dejar escribir equis, por eso he usado el signo por × que se parece pero no es lo mismo. Por favor, eleva una protesta. En Inicio - Novedades de TodoExpertos.com - Preguntas Relacionadas puedes dejar el comentario. Yo ya me ha cansado de protestar mil veces ahí y en en otros sitios pero el que lleva esta página es la persona más corta que conozco y no hace caso. A ver si recibiendo más protestas hace algo al respecto. De verdad te pido que lo hagas.
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3.141)
R=1600-50Y^2 y falla dos veces al día
E(R) = E(1600-50Y^2) = 1600-50E(Y^2)
Pues sinceramente no veo factible el cálculo a estas alturas del libro. Porque más tarde, en la página 141 si dice que el momento segundo de la distribución de Poisson es
mu'2= E(Y^2) = lambda^2 + lambda
Pero antes no sé como se puede calcular
El sumatorio i=0, infinito de e^(-2)(i^2)(2^i)/i! no es fácil de calcular.
Suponiendo que se pueda usar lo de la página 141 sería
E(R) = 1600-50(2^2+2) = 1600-50·6 = 1600-300 = $1300
Bueno espera, que el libro habla de que V(Y) se dejaba como ejercicio, el 3,138. Pero no me suena que se haya hecho.
El ejercicio dice calcula E[Y(Y-1)] para luego demostrar que V(Y) = lambda. Nos puede servir para demostrar lo que hemos necesitado que es E(Y^2)=lambda^2+lambda
E[Y(Y-1)] = Sumatorio I=0,infinito de i(i-1)(e^lambda)(lambda^i) / i! =
Para i=0 e i=1 ese sumatorio es 0 luego
= Sumatorio i=2, infinito de i(i-1)(e^lambda)(lambda^i) / i!
Simplificamos i(i+1) con el factorial del denominador
= Sumatorio i=2, infinito de (e^lambda)(lambda^i) / (i-2)! =
Cambiamos el cambio de variable i = j+2 en el sumatorio
= Sumatorio j=0,infinito de (e^lambda)(lambda^(j+2) / j!
Ponemos lambda^(j+2) como (lambda^j)(lambda^2) y sacamos lambda^2 fuera
=(lambda^2) Sumatorio j=0,infinito de (e^lambda)(lambda^j)/j! =
Pero el sumatorio ese es el de la probabilidad total de una distribución de Poisson, luego vale 1. Y por tanto
= lambda^2
Y ahora sabemos que
lambda^2 = E[Y(Y-1)] = E(Y^2-Y) = E(Y^2)-E(Y) = E(Y^2)-lambda
Tomamos primera y última
lambda^2 = E(Y^2)-lambda
E(Y^2) = lambda^2 + lambda
Luego si podíamos utilizar esta fórmula que se deducía justo dos ejercicios antes del actual
Y eso es todo.
