Álgebra de Conjunto
Tomemos el número primo 5 y sea Z el conjunto de los números enteros. Demuestre que la relación en Z definida por medio de aRb si solo si 5 divide (a - b), es una relación de equivalencia. ¿Cuáles son las clases de equivalencia?
Veamos que cumple las tres condiciones de una relación de equivalencia, reflexiva, simétrica y transitiva.
1) (a-a) = 0 es un múltiplo de 5, luego aRa y la relación es reflexiva
2) Supongamos aRb, entonces
(a-b) = 5n
y entonces
(b-a) = -5n
que también es múltiplo de 5, luego
aRb ==> bRa y la relación es simétrica
3) Supongamos aRb y bRc
a-b = 5m
b-c = 5n
a-b + b-c = 5m + 5n
a-c = 5(m-5)
luego aRc y es transitiva.
Cumple las tres condiciones y por lo tanto es una relación de equivalencia.
Las clase de equivalencia son los números cuya diferencia es un múltiplo de 5, así por ejemplo la clase del 0 es
[0] = {0, -5, 5, -10, 10, -15, 15,...}
y la del 1
[1] = {1, -4, 6, -9, 11, -14, 16, ...}
Y asi el resto de las clases, hay cinco clases
{[0], [1], [2], [3], [4]}
Puesto que 5 y posteriores y el -1 y anteriores ya están en alguna de esas cinco clases. Eso se puede demostrar por el teorema de la división que dice que todo número se puede expresar como un numero por 5 más un resto comprendido entre 0 y 4. Ese resto es precisamente el que indica la clase a la que corresponde cada número.
Y eso es todo.
