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La distribución de Poisson dice: que la probabilidad de que sucedan k sucesos exactamente es:
$$P(k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$Si aparte la probabibilidad de que el parámetro sea lambda es:
$$f(\lambda)=e^{-\lambda}\;si\; 0 \le \lambda \le \infty$$tendríamos que considerar dividir el intervalo de 0 a infinito en trozos pequeños y multiplicar la distribución de Poisson por la probabilidad de lambda en cada trozo y sumar todos esos productos. Eso es la integral de la función de densidad por la distribución de Poisson.
$$\begin{align}&P(k) = \int_0^{+\infty}e^{-\lambda}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}d\lambda =\\ &\\ &\int_0^{+\infty}\frac{e^{-2\lambda}\lambda^k}{k!}d\lambda\end{align}$$Y ahí se acaba lo que una persona puede hacer. Es una integral que se debe hacer para cada valor de k por separado. Y para cada valor de k se tiene que integrar por partes tantas veces como valga k. Puedes hacerlo una, dos o hasta tres veces pero no consigues la primitiva general para cualquier k.
Pero los ordenadores son muy listos y saben dar el valor de la integral definida, a mí Máxima me ha dicho:
P(k)=(2^(-k-1)*Gamma(k+1))/k!
Lo ha dejado sin simplificar porque no sabía que K era un número entero y entonces
Gamma(k+1)=k!
Con lo que queda que lo que nos piden es
P(Y=k) = 2^(-k-1) = 1 / [2^(k+1)]
Se queda uno con la ganas de comprobar si es verdad
P(0) = 1/2
P(1) = 1/4
P(2) = 1/8
P(3) = 1/16
...
Y es verdad en efecto, la suma de todas esas fracciones es 1 cuando k tiende a infinito.
Y eso es todo.
