Estadística matemática con aplicaciones 5.139

5.139)

a) En la página 185 del libro tienes la esperanza para una distribución Gamma

E[Gamma(alfa, beta)] = alfa · beta

Cuando el número de trabajos N toma un valor n tendremos que el tiempo total para hacer los trabajos sera la suma de n distribuciones Gamma(alfa, beta) y la esperanza de esto será n veces la esperanza de una.

Luego

E(T|N=n) = n · alfa · beta

b) Esta esperanza el sumatorio desde n = 0 hasta infinito de n·alfa·beta·P(n)

Alfa y beta son constantes que pueden salir fuera del sumatorio

E(T) = alfa·beta · [Sum n=0, infinito de n·P(n)]

Ese sumatorio es la esperanza de la la variable de Poisson N. Y la esperanza de una distribución de Poisson es el parámetro lambda que tiene, luego queda:

E(T) = alfa·beta·lambda

Y eso es todo.