Como resolver esta integral definida

En las integrales de seno o coseno elevado a una potencia impar hay que hacer siempre lo mismo:

i) Dejar un exponente 1 del seno o coseno que tengamos para que se lo coma la diferencial del cambio.

Ii) el otro factor que queda es un seno o coseno elevado a potencia par, entonces sabiendo que sen^2(x) + cos^2(x) = 1 tenemos que poner esa potencia par en función de la otra función trigonométrica. SI teníamos seno dejarlo como cosenos y viceversa

iii) Hacer el cambio t=esa otra función

Verás que no es difícil

Pues lo siento pero el editor de ecuaciones de la página no funciona, asi que va a quedar feo, vamos a hacer la indefinida primero y asi hay menos líos con la escritura

int sen^5(x)dx =

int sen^4(x)·senx dx =

int [1-cos^2(x)]^2 ·senx dx =

int [1 + cos^4(x) - 2cos^2(x)] · senx dx =

Ahora el cambio. Aprovecho para indicar cuales son los nuevos límites de integración

t=cosx

dt=-senx dx

x=-pi/4 ==> t=cos(-pi/4) = sqrt(2)/2

x=pi/3 ==> t=cos(pi/3) = 1/2

luego la nueva integral tendrá limite inferior sqrt(2)/2 y superior 1/2 y es esta

= - int [1 + t^4 - 2t^2] dt

- t - t^5 / 5 + 2t^3 / 3 entre sqrt(2)/2 y 1/2 =

-1/2 - 1/160 + 1/12 + sqrt(2)/2 + 4sqrt(2) / 160 - 4sqrt(2) / 24 =

[-240 - 3 + 40 + 240sqrt(2) + 12sqrt(2) -80sqrt(2)] / 480 =

[-203 +172sqrt(2)] / 480

Y eso es todo, ya hubiera querido hacerla con el editor, pero llevamos unos días que van muchas cosas mal en esta página.