Como se resuelve esta ecuación diferencial separando variables

Para

y'=sen(x+y)-1

debes hacer el cambio

u=x+y

u' =1 +y'

y'=u'-1

con lo cual queda

u'-1=senu -1

u'=senu

du/dx = senu

du/senu = dx

La integral izquierda es complicada de explicar cómo se hace, damos por hecho que se considera inmediata y que es:

ln[cot(u)+csc(u)]=x+C

ln[cot(x+y)+csc(x+y)] = x+C

Y eso es todo.

Sa lu dos.

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En principio no parece muy separable, pero veamos que sucede cuando usemos la fórmulas trigonométricas

sen(x+y) = senx·cosy + cosx·seny

sen(x-y) = senx·cosy - cosx·seny

(1/cosx) dy/dx + senx·cosy + cosx·seny = senx·cosy - cosx·seny

(1/cosx) dy/dx + cosx·seny = - cosx·seny

(1/cosx) dy/dx = - 2cosx·seny

dy / seny = -2cosx·cosx·dx

dy / seny = -2cos^2(x)dx

Pues sí, es separable.

Ahora integraremos en cada lado respecto a su variable.

Pues la de la izquierda no es moco de pavo

$dy/seny =

hacemos el cambio

t = cosy

seny = sqrt(1-t^2)

dt = -seny·dy

dy =-dt/seny = -dt/sqrt(1-t^2)

Con todo esto nos queda

$[-dt/sqrt(1-t^2)]/sqrt(1-t^2) = -$dt/(1-t^2)

Esa integral racional se resuelve descomponiendo 1/(1-t^2) en la suma de dos fracciones más simples

1/(1-t^2) = a/(1+t) + b/(1-t) = [a(1-t) + b(1+t)] / (1+t^2) = [(b-a)t +a+b] /(1+t^2)

Tomando primer y último miembro hay una igualdad con iguales denominadores, luego deben serlo los numeradores

1 = (b-a)t +a+b

Es una igualdad polinomial, el coeficiente en t deber ser cero y el coeficiente independiente debe ser 1

b-a = 0

a+b = 1

Resolvemos

b=a

a+a = 1

a = 1/2

b = 1/2

y con estas fracciones más simples tenemos

- $(dt/(1-t^2) = - (1/2)$dt/(1+t) - (1/2)$dt/(1-t) = -(1/2)ln(1+t) +(1/2)ln(1-t) =

Y aplicando todas las propiedades de los logaritmos tenemos:

= (1/2)ln[(1-t)/(1+t)]

Y deshaciendo el cambio

= (1/2)ln[(1-cosy)/(1+cosy)]

Bueno vamos con la integral de la derecha:

-$2cos^2(x)dx =

Aquí hay que seguir usando igualdades trigonométricas.

De

cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x) = cos^2(x) - sen^2(x) + cos^2(x) - cos^2(x) =

2cos^2(x) - 1

tenemos

cos(2x) = 2cos^2(x) -1

1 + cos(2x) = 2 cos^2(x)

Con lo que la integral es:

-$[1+cos(2x)]dx = -x - (1/2)sen(2x)

Y una vez hechas las dos integrales igualamos los resultados

(1/2)ln[(1-cosy)/(1+cosy)] = -x - (1/2)sen(2x) + C

ln[(1-cosy)/(1+cosy)] = -2x - sen(2x) + ln(k)

(1-cosy)/(1+cosy) = ke^[-2x-sen(2x)]

Si se quiere dejar como arriba ya está bien, aunque se puede llegar a despejar la y.

1-cosy = ke^[-2x-sen(2x)] + k·cosy·e^[-2x-sen(2x)]

cosy · {-1 - ke^[-2x-sen(2x)]} = ke^[-2x-sen(2x)] -1

cosy = {1 - ke^[-2x-sen(2x)]} / {1 + ke^[-2x-sen(2x)]}

y = arcos( {1 - ke^[-2x-sen(2x)]} / {1 + ke^[-2x-sen(2x)]})

Y eso es todo.

ahora explicame como resolver la ecuacion diferencial y`=sen(x+y)-1