Cobertura garantía vehículo segunda mano

Hola, soy sonia, no se si me podéis ayudar,
Hace ya un mes compre a una empresa dedicada a la compra venta de vehículos usados, concretamente caravanas y autocaravanas, les compré una autocaravana que nos enseñaron por Internet.
Al ser una empresa homologada, confié en el vendedor al 100%
Esta empresa esta en MADRID, y yo resido en TARRAGONA, nuestra primera pregunta como compradores novatos en este campo y de buena fe, fue que nos dijera si en el caso de que no estuviera todo bien tendríamos que desplazarnos a Madrid (¿300? Por viaje sin quedarnos a dormir) o si tenían algún lugar concertado entre Tarragona o Barcelona, este señor nos dijo de palabra tanto por teléfono como cuando fuimos a recogerla, que no había ningún problema, que ellos buscaban un lugar donde les ofrezcan el mejor presupuesto y nosotros la llevamos. Y además añadió que no nos preocupáramos porque ellos entregan las autocaravanas totalmente probadas y revisadas, por lo que no debería de salir ningún problema, (esto lo tengo por escrito). Pues bien La misma semana la probamos y la limpié a fondo y encontramos: EL PLATO DE DUCHA TOTALMENTE HUNDIDO Y AGRIETADO POR TODAS PARTE, EL DESAGÜE PODRIDO con lo que sale el agua hacia el habitáculo, NO FUNCIONA EL AGUA CALIENTE, NO FUNCIONA LA NEVERA Y LA CENTRALIZACIÓN TIENE UNA PLACA QUEMADA.
Yo pienso que si realmente hubiesen repasado el vehículo todo esto lo hubiesen visto, por lo que me han contestado que se la llevemos a Madrid y miraran de repararla. Yo he insistido en el tema de su compromiso verbal de que no hacía falta llevarla a Madrid y Niega haberlo dicho. Tampoco me fío de que me la reparen ellos ya que visto el resultado de sus repasos, esto me puede salir por un ojo de la cara en viajes a Madrid, y por ese precio igual me podría haber comprado una nueva.
Necesito saber si pueden exigirme que SOLO ellos puede repararla y si es el caso, según ellos no tienen porque darme un plazo de entrega, ¿es verdad?
Gracias.
Saludos.
Sonia.