Ya lo siento respecto a los dos dñias de permiso por nacimiento, pero no estás "de baja por la niña", la distinta jurisprudencia coincide, los permisos son, por definición, cuando necesitas ausentarte del trabajo y estando de vacaciones no necesitas ausentarte del mismo puesto que no estás en él. Otra cosa es que en el convenio de tu empresa mejoren lo que indica el estatuto de los trabajadores.
El permiso por paternidad tiene unos requisitos, te dejo el link de la seguridad social para que los mires (normalmente los cumplirás pero por si acaso, miratelos) y además desde ahí te puedes descargar la documentación para su solicitud, que tambien te la darán en la seguridad social pero así te ahorras un viaje (antes te la facilitaban en la misma maternidad pero ahora no estoy segura si lo siguen haciendo, aunque creo que sí).
http://www.seg-social.es/Internet_1/Masinformacion/TramitesyGestiones/PrestaciondePaterni51457/index.htm
Puedes iniciarlo desde la situación de desempleo, te copio-pego:
Cuando el trabajador esté percibiendo la prestación por desempleo contributivo y pase a la situación de paternidad:
- Se le suspenderá la prestación por desempleo y la cotización a la Seguridad Social y pasará a percibir la prestación por paternidad en la cuantía que corresponda (100% de la base reguladora), que será gestionada directamente por su Entidad gestora (INSS oISM).
- Extinguida la prestación de paternidad, se reanudará la prestación por desempleo por el período que restaba por percibir y la cuantía que correspondía en el momento de la suspensión.