Punto cercano al origen de y=2x-3

Halle el punto de la recta más cercano al origen de la pendiente y=2x-3

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Adjunto una solución gráfica para complementar la respuesta analítica de Valero

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La distancia de un punto a una recta se mide a través de la perpendicular a la recta que pasa por el punto.

Si nos dan la recta en la forma

y=mx+b tenemos que la pendiente de la recta es m.

Luego en y=2x-3 la pendiente es 2

Una propiedad que cumplen las pendientes de dos rectas perpendiculares en el plano es que el producto de las pendientes es -1.

luego llamando m a la pendinete de la perpendicular tendremos

2m = -1

m = -1/2

Luego la perpendicular será

y =-(1/2)x + b

y como pasa por (0,0)

0 = 0 +b

b=0

luego la perpendicular es

y = -x/2

Y ahora hallamos la intersección de las dos rectas

y=-x/2

y = 2x-3

igualando

-x/2 = 2x - 3

-x = 4x - 6

5x = 6

x=6/5

y ahora calculamos y

y=-(6/5)/2 = -6/10 = -3/5

Luego el punto es (6/5, -3/5)

·

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Estoy pensando yo ahora si este era un ejercicio de máximos y mínimos, como no has dicho nada yo lo he tomado por ejercicio de geometria euclidea.

Si fuera de máximos y mínimo mándalo en otra pregunta distinta que aquí ya se ha trabajado bastante.

La distancia de un punto (x, y) al origen es:

$$\begin{align}&d=\sqrt{x^2+y^2}\\&\\&\text{Los puntos son de la recta }\\&y=2x-3\\&\text{luego la distancia es una función solo de x}\\&\\&d(x) = \sqrt{x^2+(2x-3)^2}\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&d'(x)= \frac{2x+2(2x-3)·2}{2 \sqrt{x^2+(2x-3)^2}}=0\implies\\&\\&2x+8x-12=0\\&\\&10x = 12\\&\\&x=\frac 65\\&\\&y=2· \frac 65-3= \frac{12}{5}-3=-\frac 35\\&\\&\\&\text{el punto es: } \left(\frac 65,-\frac 35  \right)\end{align}$$
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Migo me gustaría que lo hiciera derivando

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