¿Como resolver las ecuaciones por partes?

$$\begin{align}&\int xcosxdx=\\&x=u \Rightarrow u'=1\\&cosx=v' \Rightarrow v= senx\\&\\&uv-\int u'v=xsenx-\int senx=xsenx+cosx+C\\&\end{align}$$

La última se hace dos veces por partes:

$$\begin{align}&\int x^2cosxdx=\\&x^2=u \Rightarrow u'=2x\\&cosx=v' \Rightarrow v=senx\\&\\&=x^2senx-\int 2xsenxdx\\&\\&x=u \Rightarrow u'=1\\&senx=v' \Rightarrow v=-cosx\\&\\&=x^2senx-2 \left [-xcosx+ \int cosx dx \right ]=\\&x^2senx+2xcosx-2senx+C\end{align}$$

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Deberías mandar un solo ejercicio de estas integrales por pregunta, dos si acaso son muy fáciles. El tercero ya lo tienes hecho y yo no añadiría nada novedoso que no sea usar dv en lugar de v' y escribir el dx en du y dv que son reglas aclaratorias pero no alteran el resultado. Te haré el primero

$$\begin{align}&\int xe^{-2x}dx=\\&\\&u=x\qquad\qquad du=dx\\&dv=e^{-2x}dx\quad v=-\frac 12e^{-2x}\\&\\&=-\frac 12 xe^{-2x}+\frac 12\int e^{-2x}dx=\\&\\&-\frac 12xe^{-2x}-\frac 14e^{-2x}+C=\\&\\&-\frac{e^{-2x}(2x-1)}{4}+C\end{align}$$

Y eso es todo.