Funciones continuas y las operaciones algebraicas de funciones-Urge

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Las operaciones algebraicas son suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.

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Las operaciones suma, resta y multiplicación no presentan ningún problema.

Si f(x) y g(x) están definidas y son continuas en un punto x=xo, entonces:

(f+g)(x), (f-g)(x) y (f·g)(x) están definidas en x=xo y son continuas en él.

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La división presenta problemas en los puntos donde el denominador es 0, en los demás se comporta igual de bien que las operaciones anteriores. Según el autor te dirá que la función no es continua en los puntos donde g(x)=0 o te dirá que no tiene sentido hablar de continuidad porque la función no está ni siquiera definida, luego toma lo que quieras. Yo diría que la función no es continua donde g(x)=0 que nadie te va areñir por decir eso.

Luego si f(x) y g(x) son continuas en xo

(f/g)(x) es continua en x=xo si g(xo) distinto de 0, y si g(x0)=0 no es continua.

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Respecto a la potenciación hay que tener mucho cuidado, son muchos los casos, depende de si el exponente es un número o una función, si es un número entero o es racional e incluso irracional, de si la función es positiva o negativa y del tipo de exponentes en esa caso, con exponentes negativos se pueden dar discontinuidades del tipo división por cero, etc

Es algo muy complicado, deberías explicitar que tipo de potenciaciones se pueden hacer.

Y con las raíces lo mismo, depende del exponente de la raíz, del signo del radicando y muchos problemas no son de continuidad sino de que la función este definida.

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Si nos limitamos a exponentes enteros positivos tal como en los polinomios diremos que la función obtenida como composición de una función continua con un polinomio es continua.

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Y eso es todo.