Encontrar el punto más cercano en una recta usando derivadas.

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¡Hola Peri!

¿Estás de acuerdo conmigo en que la menor de las distancia también será la menor de las distancias al cuadrado?

Píensalo para el futuro, te evitarás hacer una tonta derivada de una raíz cuadrada cuando quitando la raíz obtendrás el mismo resultado. Ya que al derivar, la raíz cuadrada va al denominador y al numerador la derivada de lo de dentro, y los puntos donde la derivada será cero serán los que el numerador valga cero. Ojala prosperarán proyectos como este para ahorrar mucha cantidad de papel y hacer un planeta más sostenible.

$$\begin{align}&\text{Sea un punto (x,y) de la recta }\\&\\&6x+y=9\\&\\&\text{despejamos y}\\&\\&y = 9-6x\\&\\&\text{luego el punto será}\\&\\&(x, 9-6x)\\&\\&\text{Y su distancia a (3,1) será}\\&\\&d(x)=d\big((x, 9-6x),(3,1)\big)=\sqrt{(x-3)^2+(9-6x-1)^2}=\\&\\&\sqrt{(x-3)^2+(8-6x)^2}\\&\\&\text{derivamos a lo tonto como te decía antes e igualamos a 0}\\&\\&d'(x)=\frac{2(x-3)+2(8-6x)·(-6)}{2 \sqrt{(x-3)^2+(8-6x)^2}}= 0\\&\\&\text{aprovecho para simplificar el factor 2}\\&\\&x-3 +(8-6x)·(-6)=0\\&\\&x-3 -48 +36x = 0\\&\\&37x = 51\\&\\&x= \frac {51}{37}\\&\\&y = 9-6· \frac{51}{37}= \frac{333-306}{37}=\frac{27}{37}\end{align}$$

Y si no tuviéramos esa derivada primera tan complicada la derivaríamos para comprobar que efectivamente es un mínimo.  No hace falta, no puede ser un máximo porque hay puntos de la recta infinitamente alejados de (1,3).  Pero para otra acuérdate de en vez de usar la función distancia, usar la función distancia al cuadrado que no tiene raíces y tiene los máximos y mínimos en los mismos puntos.

Esta es la gráfica.

Y eso es todo, saludos.

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