Calcular el volumen de la región del primer octante acotada por los planos coordenados
Alguien me podría colaborar con este ejercicios, muchísimas gracias.
Calcular el volumen de la región del primer octante acotada por los planos coordenados y los planos X+ Z = 1 y Y+2Z=2
1 respuesta
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¡Hola Jhon!
Esos dos planos por su ecación son como dos naipes inclinados de los que haces castillos, uno paralelo al eje X y otro paralelo al eje Y. Además uno está doble inclinado que el otro. Se cortan en una recta y a una parte de ella es un plano el que hace de techo el techo y al otro lado el otro.
La intersección con el plano z=0 son las rectas
x=1
y=2
Luego el dominio de integración es un rectángulo
x desde 0 a 1
y desde 0 a 2
el corte de los dos planos es
x + z = 1
y + 2z = 2
restando dos veces el primero al segundo tenemos
y - 2x = 0
y=2x
Que es la diagonal del dominio de integración. Luego el dominio de integración queda dividido en dos partes.
Veamos cual es primer plano que hace de techo para cada una de las dos partes. Para ello ponemos los dos planos como función de z
z_1 = 1 - x
z_2 = 1 - y/2
Para la región por debajo de la diagonal y <2x tomemos el punto (1/2,0)
z_1 = 1-1/2 = 1/2
z_2 = 1 - 0/2 = 1
luego para esta región es z_1 el primer techo.
Para la regíon por encima de la diagonal y > 2x tomemos por ejemplo el punto (0,1)
z_1 = 1
z_2 = 1-1/2 = 1/2
luego para esa regíon la función z_2 = 1-y/2 es el techo primero
Y con esto el volumen es el siguiente:
$$\begin{align}&V=\int_0^1\int_0^{2x}(1-x)dy\,dx+\int_0^1\int_{2x}^2\left(1-\frac y2 \right)dy\,dx=\\&\\&\int_0^1(1-x)y\bigg|_0^{2x}dx+\int_0^1\left[y-\frac{y^2}{4} \right]_{2x}^2dx=\\&\\&\int_0^1(1-x)·2x\;dx+\int_0^1\left(2-1-2x+x^2 \right)dx=\\&\\&\int_0^1(2x-2x^2+1-2x+x^2)dx=\int_0^1(1-x^2)dx=\\&\\&\left[x-\frac{x^3}{3} \right]_0^1=1-\frac 13=\frac 23\end{align}$$:
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