La resistencia de una viga de sección trasversal rectangular es proporcional al producto de su ancho y al cuadrado de su alto.

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¡Hola Jhon!

Este es un problema de Lagrange pero de los feos, ya que las dos variables juegan papeles distintos y no podemos asegurar que el máximo se dará para valores iguales de ambas. Es más, incluso creo que habrá que hacer dos problemas de Lagrange según pogamos lo cortado de la elipse de una forma o girado 90º

La ecuacón de la elipse será:

$$\begin{align}&\frac{x^2}{26^2}+\frac {y^2}{16^2}=1\\&\\&\text{luego la función de ligadura será}\\&\varphi(x,y)=\frac{x^2}{26^2}+\frac {y^2}{16^2}-1=0\\&\\&\text{Y las funciones  a maximizar serán}\\&\\&f(x,y)=xy^2\\&g(x,y)=x^2y\\&\\&\text{comenzamos por f}\\&\text{Las ecuaciones son la de ligadura y estas}\\&f_x+\lambda\varphi_x=0\\&f_y+\lambda\varphi_y=0\\&\\&y^2+\lambda·\frac {2x}{26^2}=0\implies\lambda=-\frac{26^2y^2}{2x}\\&\\&2xy+\lambda·\frac{2y}{16^2}=0 \implies\\&\\&2xy-\frac{2·26^2y^3}{2·16^2x}=0\\&\\&\text{y no puede ser 0, la resistencia sería nula}\\&\\&2x =\frac{26^2y^2}{16^2x}\\&\\&2·16^2x^2=26^2y^2\\&\\&x^2=\frac{26^2y^2}{2·16^2}\\&\\&\text{Y vamos a la ecuación de ligadura}\\&\\&\frac{x^2}{26^2}+\frac {y^2}{16^2}-1=0\\&\\&\frac{\frac{26^2y^2}{2·16^2}}{26^2}+\frac {y^2}{16^2}-1=0\\&\\&\frac {y^2}{2·16^2}+\frac {y^2}{16^2}=1\\&\\&\frac{3y^2}{2·16^2}=1\\&\\&y=\sqrt {\frac {2·16^2}3}= 16·\sqrt {\frac 23}\\&\\&\text{solo la positiva la negativa no tiene sentido}\\&\\&x=\sqrt{\frac{26^2y^2}{2·16^2}}=\sqrt{\frac{26^2 ·16^2 ·\frac {2}3}{2·16^2}}=26·\sqrt{\frac{1}{3}}\\&\\&\text{y la resistencia máxima para f será}\\&\\&r_f=f\left(26·\sqrt{\frac{1}{3}},16·\sqrt \frac 23\right)=26·\sqrt{\frac{1}{3}}·16^2·\frac 23=\\&\\&\frac{13312}{3}\sqrt{\frac 13}\approx 7685.686783\\&\\&\text{Si hacemos las mismas cuentas para g(x,y)}\\&\text{antes de ir a la ecuación de ligadura salen}\\&\text{con los papeles cambiados, luego}\\&\\&\frac{x^2}{26^2}+\frac {\frac{26^2x^2}{2·16^2}}{16^2}-1=0\\&\\&\frac{x^2}{26^2}+\frac{26^2x^2}{2·16^4}=1\\&\\&x^2=\frac{2·16^4·26^2}{2·16^4+26^4}\\&\\&x=\sqrt{\frac{88604672}{588048}}=\frac{1664 \sqrt 2}{\sqrt {36753}}\\&\\&y=\sqrt{\frac{26^2x^2}{2·16^2}}=\frac{26}{16}\sqrt{\frac{\frac{1664^2·2}{36753}}{2}}=\frac{2704}{\sqrt{36753}}\\&\\&r_g=g\left(\frac{1664 \sqrt 2}{\sqrt {36753}},\frac{2704}{\sqrt{36753}}\right)=\\&\\&\frac{5537792}{36753}·\frac{2704}{\sqrt{36753}}=\frac{14974189568}{36753 \sqrt{36753}}\approx\\&\\&2125.22117764892\\&\\&\text{Luego mejor lo de la función f}\\&\\&ancho=26·\sqrt{\frac{1}{3}}\approx 15.011107\\&\\&largo= 16·\sqrt {\frac 23}\approx 13.06394529\\&\\&\end{align}$$

Uff, ya puedes repasarlo todo que yo no puedo más, el editor no tiraba ni loco con tanta fórmula y me ha costado mucho tiempo esperando que respondiera a lo que escribía.

Espero que esté bien y a lo mejor podría haber alguna forma de saber cuál de las dos funciones era más favorable de antemano para hacer menos cuentas, pero yo no lo sé.

S a l u d o s.

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Deja, no hace falta que lo repases mucho, ya he visto un fallo. Como no me fiaba hice una tabla de Excel con las dos funciones y vi que es al revés que f es peor, es que no hice bien la cuenta al final del valor de la rigidez máxima, se me olvido dividir por el 3

$$\begin{align}&r_f=f\left(26·\sqrt{\frac{1}{3}},16·\sqrt \frac 23\right)=26·\sqrt{\frac{1}{3}}·16^2·\frac 23=\\&\\&\frac{13312}{3}\sqrt{\frac 13}\approx 2561.895594\end{align}$$

Con esto la rigidez máxima se obtiene en g pero tampoco es esa que calculé, habré tenido otro fallo, Segun mi tabla de excel estaría sobre

ancho = 9.26

alto = 21.2

Y valdría sobre 4163.

Olvídate de lo que dije que para g salían cambiados los papeles de x y y, lo mejor será que calculemos g de la misma forma que hicimos con x no nos queramos pasar de listos, porque saldrán cambia dos los papeles no solo de ellas sino de sus coeficientes correspondientes. Entonces para g las cuentas serán:

$$\begin{align}&g(x,y)=x^2y\\&\\&\text{Las ecuaciones son la de ligadura y estas}\\&g_x+\lambda\varphi_x=0\\&g_y+\lambda\varphi_y=0\\&\\&2xy+\lambda·\frac {2x}{26^2}=0\implies\lambda=-26^2y\\&\\&x^2+\lambda·\frac{2y}{16^2}=0 \implies\\&\\&x^2=\frac {2·26^2y^2}{16^2}\\&\\&x=\frac{13 \sqrt 2\,y}{8}\\&\\&\text{Y vamos a la ecuación de ligadura}\\&\\&\frac{x^2}{26^2}+\frac {y^2}{16^2}-1=0\\&\\&\frac{\frac {2·26^2y^2}{16^2}}{26^2}+\frac {y^2}{16^2}-1=0\\&\\&\frac {2y^2}{16^2}+\frac {y^2}{16^2}=1\\&\\&\frac{3y^2}{16^2}=1\\&\\&y=\frac{16}{\sqrt 3}\\&\\&\text{la negativa no tenía sentido}\\&\\&x=\frac{13 \sqrt 2\,y}{8}=\frac{13 \sqrt 2\,\frac{16}{\sqrt 3}}{8}=\frac{26 \sqrt 6}{3}\\&\\&\text{y la resistencia máxima para g será}\\&\\&r_f=f\left(\frac{26 \sqrt 6}{3},\frac {16}{\sqrt 3}\right)=\frac{26^2·6}{9}·\frac{16}{\sqrt 3}=\frac{21632}{3 \sqrt 3}=\\&\\&\frac{21632 \sqrt 3}{9}\approx 4163.080341  \qquad \text{¡YUJU!}\\&\\&\text{luego la máxima resistencia es esa y se obtiene para}\\&\\&ancho=y=\frac{16}{\sqrt 3}=\frac{16 \sqrt 3}{3}\approx 9.237604307\\&\\&alto = x=\frac{26 \sqrt 6}{3}\approx 21.2289111\end{align}$$

Y ahora sí, ahora ya está bien, coincide con la tabla de Excel.

Y eso es todo, s a l u d o s.

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