Como calcular U1 y U2 en la siguiente sucesión?

Entonces:

$$\begin{align}&a)\quad U_1=1+ln(U_0)= 1+ ln\,e=1+1=2 \\&\\&\qquad  U_2=1+lu(U_1)=1+ ln(2)\\&\\&b)\\&\\&Si\; U_n\gt 1 \implies ln\,U_n \gt 0\implies 1+ln\,U_n\gt 1\implies U_{n+1}\gt 1\\&\\&\text{Como }U_0=e\gt 1\implies U_n\gt 1\quad\forall n\in \mathbb N\\&\\&Si\;U_n\le e\implies 1+ln\,Un\le 1+1=2\implies U_{n+1}\le 2\lt e\\&\\&\text{Como }U_0=e\le e \implies U_n\lt e\\&\\&c) \\&\\&\text{Tenemos que demostrar que}\\&U_{n+1}\lt U_n\\&\text{es decir}\\&1+ln(U_n) \le U_n\\&\\&\text{Para n=0 se cumple}\\&1+ln\,e=1+1=2\lt e\\&\\&\text{Suponemos que para n se cumple}\\&1+ln\;U_{n+1}=1+ln(1+ln\,U_n)\lt\\&\\&\text{ya que ln es creciente, al ser}\quad1+ln \,Un\lt Un\\&\\&\lt1+ln \,Un =U_{n+1}\\&\\&\text{luego}\\&1+ln\;U_{n+1} \lt U_{n+1}\\&\\&\text{y queda probada la induccción, por tanto}\\&1+ln\,Un\lt U_n \implies U_{n+1}\lt U_n\\&\\&d)   \text{Hay un teorema que dice que una sucesión }\\&\text{monótona y acotada es convergente.}\\&\text{Y esta cumple esas condiciones, luego es convergente.}\\&\\&U_{n+1}= 1+ ln \,U_n\\&\\&\text{Sea }L = \lim_{n\to \infty}U_n=\lim_{n\to \infty}U_{n+1}\\&\\&\text{Tomando límites en los de arriba}\\&\\&\lim_{n\to \infty}U_{n+1}=\lim_{n\to \infty}(1+ ln \,U_n)\\&\\&L=1+\lim_{n\to \infty}(ln \,U_n)\\&\\&L = 1+ln\left(\lim_{n\to\infty}U_n  \right)\\&\\&L=1+ln\,L\\&\\&L-1=ln \,L\\&\\&\text{sabemos que L=1 cumple esa igualdad}\\&1-1=ln\,1\\&0=0\\&\text{¿Puede haber otra respuesta entre 1 y e?}\\&\text{No, ya que}\\&g(x)=x-1-lnx \qquad \text{derivable y continua en (1,e)}\\&\\&g'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\gt0\;en\; (1,e)\\&\\&\text{Luego g(x) estrictamente creciente en (1,e)}\\&\text{Como }g(1)=0\implies g(x)\gt0 \;en\; (1,e)\implies\\&x-1-ln(x)\gt 0\implies x-1\gt ln\,x\\&\\&\text{y no hay L en (1,e) que cumpla }L-1=ln\,L\\&\end{align}$$

Luego el límite es 1.

Y eso es todo, s a l u d o s.

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