Demuestre que el producto de los senos de los ángulos de un triángulo alcanza su mayor valor cuando.

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¡Hola Jhon!

Podemos tomar dos ángulos siempre que estén en el intervalo (0, pi) y la suma de los dos también esté en ese intervalo. El tercer angulo queda determinado por los dos primeros y por lo tanto su seno también.

Entonces el producto de los tres senos será

f(x,y) = senx · seny · sen(pi -(x+y)) =

ángulos suplementarios tienen el mismo seno

senx · sen y · sen(x+y)

Calculamos las derivadas parciales respecto a x, y y las igualamos a 0.

fx= seny · (cosx·sen(x+y) + senx·cos(x+y) = 0

fy = senx · (cosy·sen(x+y) + seny·cos(x+y) = 0

Las soluciones seny=0, senx=0 no nos sirven, el producto sería 0 luego malamente podría ser el máximo, entonces lo que se cumple es

cosx·sen(x+y) + senx·cos(x+y) = 0

cosy·sen(x+y) + seny·cos(x+y) = 0

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cosx·sen(x+y) = -senx·cos(x+y)

sen(x+y) / cos(x+y) = - senx / cos x

tg(x+y) = - tg x

Dos ángulos tienen tangentes opuestas si son suplementarios.

Y de la segunda ecuación

cosy·sen(x+y) = - seny·cos(x+y)

sen(x+y) / cos(x+y) = - seny / cosy

tg(x+y) = - tg y

igualando las dos expresiones

-tg x = - tg y

Como x y y  están en el intervalo (0, pi) son el mismo ángulo, luego tenemos x=y

tg(2x) = -tg(x)

Como decía antes deben ser suplementarios, luego

2x+x = pi

3x=pi

x=pi/3

con lo cual

y=pi/3

Y el tercer ángulo es también pi/3

Por lo cual es un triángulo equilátero.

Respecto a que es un máximo no cabe la menor duda ya que (pi/3, pi/3) es el único punto crítico de una función continua y derivable en (0, pi). Y la función tiene valores inferiores, nótese que cuando x tiende a cero el producto tiende a 0, luego ese punto crítico es el máximo no solo relativo sino absoluto

Y eso es todo, saludos.

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