Aplicación de integrales, aproximación de área
Y como ya viste calculo integral no me gusto!
Ayuda please!
Una lata de aluminio para bebidas gaseosas mide 2.54 cm de radio y 17.3 cm de alto, mientras el espesor de la lámina con que está hecha es de 0.74 mm. Si simultáneamente se provocara un error máximo en radio, altura y espesor del k% en cada magnitud:
a) ¿Cuánto varía en porcentaje el peso de la lata?
b) ¿Cuánto varía en porcentaje la cantidad de lámina empleada para construir la lata?
c) ¿Cuánto varía en porcentaje el volumen que puede contener la lata?
d) En cada caso ¿Qué magnitud al variar resulta la más crítica: la altura, el radio o el espesor de la lata?
e) ¿Qué valor tiene máximo puede tener k si ninguna de las magnitudes mencionadas en los incisos a, b y c, debe de modificar su valor más de un 1.5%?
Anoche estuve intentando hacer el ejercicio y hacerlo con todo detalle era mucho más complicado de lo que parece y lo dejé porque tenía que hacer otras cosas ineludibles. Ahora veo que encima dices que se tiene que resolver con integrales.
Yo creo que haría falta ver que teoría estas estudiando y si has hecho ejercicios similares, porque esto tiene varias formas de resolverse.
Yo las áreas y volúmenes por supuesto que no las calculaba con integrales, hay fórmulas para ello, pero aun así era complicado por lo del grosor de la lámina que no es algo habitual que se tenga en cuenta.
Y respecto a la variable más crítica lo hacia por el cálculo de las derivadas parciales, me gustaría saber si es así como lo hacéis.
Mádame lo que puedas explicas de lo que digo y en todo caso responderé dentro de unas horas, tengo que hacer otras cosas.
Saludos.
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¡Gracias! Pues en realidad no he visto NADA de este tema..incluso le pregunte a la maestra y hasta la fecha ninguna respuesta...
Buscando en google encontré de donde saco el problema (https://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiD5OvxueDMAhVL7iYKHRgzBbsQFggiMAE&url=https%3A%2F%2Fissuu.com%2Fdavidbelenojimenez%2Fdocs%2Ffprop6s_calculo_diferencial_integra&usg=AFQjCNHJpJfFVukbFRgZNxaspUsWHIHwpw ), entonces resulta que el tema visto para resolver este problema es diferenciales, así que no es como ella pide con integrales (una disculpa) sino con diferenciales... con este avance ahora creo que es un poco mas facil hasta para mi resolver este problema... comienzo tratando...
¡Madre mía! Con lo que te enseñan no hay casi para empezar.
1) El peso depende del volumen de la chapa empleada.
Sea r el radio, h la altura y g el grosor, teniendo en cuenta que le radio es el radio exterior y h la altura total.
El volumen de chapa empleada será
$$\begin{align}&V(r,h,g)=2\pi r^2g+ 2\pi r(h-2g)g =\\&\\&\text{Para derivar mejor que no haya }\\&\text{con variables repetidas}\\&\\&=2\pi(r^2g+rhg -2rg^2)\\&\\&\text{La diferencial es la suma de las diferenciales}\\&\\&dV=\frac{\partial V}{\partial r}dr+\frac{\partial V}{\partial h}dh+\frac{\partial V}{\partial g}dg\\&\\&dV=2\pi\left( (2rg+hg-2g^2)dr+rg\,dh+(r^2+rh-4gr)dg \right)\\&\\&\text{Los diferenciales serán }\\&dr = \frac{kr}{100} \qquad dh=\frac{kh}{100} \qquad dg=\frac{kg}{100}\\&\\&dV=\frac{k\pi}{50}\left(2r^2g+rgh-2rg^2+rgh+r^2g+rgh-4rg^2 \right)=\\&\\&\frac{k\pi}{50}\left(3r^2g+3rgh-6rg^2 \right)= \frac {3k\pi}{50}(r^2g+rgh-2rg^2)=\\&\\&\frac {3k\pi}{50}·\frac{V}{2\pi}=\frac{3k}{100}V\\&\\&\text{Luego el porcentaje aproximado de variación es }(3k)\%\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Y digo aproximado porque el real calculado con todas las cuentas sería (k^3)%, pero como quieren que se calcule por diferenciales allá ellos. De todas formas no estoy seguro de si ellos lo harán de alguna forma más simplificada y probablemente errónea.
Y lo dejo aquí porque tengo que irme, ya lo continuaré cuando pueda.
El apartado b es más sencillo ya que no interviene la variable g
En el apartado c ten cuidado porque el radio y la altura supongo que serán las exteriores, con lo cual para calcular el volumen interior tendrás que restar g al radio y 2g a la altura.
Sa lu dos.
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