Álgebra abstracta... Tengo este ejercicio sobre demostración de homomorfismos entre grupos!
Si f es un homomorfismo entre G y H; y K es un subgrupo de G, entonces prueba que f-1(f(K))=NK, donde N=ker f
1 Respuesta
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¡Hola Zankass!
f^(1)[f(K)] = {x Є G | xf = kf para un k Є K}
Sea x Є f^(1)[f(K)]
existe k Є K tal que
kf = xf
kf ·(xf)^(-1) = 1
kf · x^(-1)f = 1
[k·x^(-1)]f = 1
luego k·x^(-1) Є Ker f
como Ker f es un grupo también pertenece su inverso
x·k^(-1) Є Kerf = N
y tenemos
x = [x·k^(-1)] · k
donde x·k^(-1) Є N y k Є K
luego x Є NK
Luego hemos demostrado que
f^(-1)[f(K)] está incluido en NK
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Sea ahora x Є NK
x = nk con n € N y k € K
xf = (nk)f = nf · kf
como n Є N=Ker f se cumple nf = 1
xf = 1 · kf
xf = kf
luego x Є f^(-1)[f(K)]
por lo tanto
NK esta incluido en f^(-1)[f(K)]
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Y al darse la inclusión en doble sentido se da la igualdad
f^(-1)[f(K)] = NK
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Y eso es todo, saludos.
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