¿Cómo saber si son linealmente independientes?
Problema. Sea V el espacio vectorial de las funciones f: R --> R, y sea
$$\begin{align}&S=\{e^xcosx, e^{-x}cosx,e^xsenx,e^{-x}senx\}\end{align}$$Definimos la aplicación lineal D: gen(S) --> gen (S) como D(f) = f' (derivada).
a) Demostrar que son linealmente independientes. Lo quería intentar usando el Wronskiano pero es lo peor que podría a ver hecho, tardaría mucho y eso que quién sabe si llegue a algo. ¿Se podrá por definición?
b) ¿Cómo encontrar la matriz asociada a la base S? Aplico la transformación a cada vector de S, luego la imagen la expreso como combinación lineal de elementos de S, entonces los escalares de la transformación formarán la columna de la matriz ¿cierto?
c) Determinar el Nucleo de D. Debo buscar el conjunto de las funciones g tales que g' = 0, entonces el nucleo son las funciones constantes.
Nota. El primer si me interesa la solución, de los demás sólo una explicación rápida es suficiente, aunque creo que si los entendí.
1 Respuesta
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Por definición tendrías que igualar una combinación lineal de ellos a la función nula y ver que los únicos coeficientes que cumplen eso son todo ceros.
$$\begin{align}&ae^xcosx+be^{-x}cosx+ce^{x}senx+de^{-x}senx=0\\&\\&Para\; x=0\\&a+b=0\\&\\&\text{Para }x= \pi\\&-ae^{\pi}-be^{-\pi}=0\\&\text{sustituyendo }a=-b\\&be^{\pi}-be^{-\pi}=0\\&b(e^{\pi}-e^{-\pi})=0\\&como\; e^{\pi}-e^{-\pi}\neq 0\\&b=0\\&a=-b=0\\&\\&\text{Haciendo lo mismo con }\frac \pi 2\;y \;\frac{3\pi}{2}\\&\text{obtendrás } c=d=0\\&\\&\text{Luego todos los coeficientes son 0 y son l.i.}\\&\end{align}$$b) Si, asi es como debe hacerse.
c) Si, pero es que en el espacio generado por S no hay funciones constantes salvo la función nula. Luego el núcleo es la función nula.
Saludos.
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Tiene razón, el núcleo es la función nula, y ya lo he comprobado con el sistema AX = 0, cuya solución es POR = (0, 0, 0, 0). Y este vector es el vector coordenadas de los elementos del núcleo respecto a la base original, y pues esto siempre genera al cero. Cosas que hasta apenas entiendo porque no entendía como a las funciones las podíamos tratar como vectores simples. Muchas gracias.
