Este es otro problema de calculo de áreas
En los siguientes ejercicios dibuje la región limitada por las gráficas de las funciones algebraicas y calcule el área de la región.
Describa el método empleado para calcular el área de entre las dos funciones y dibuje la gráfica
2 Respuestas
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¡Hola Teresa!
Esta es la gráfica:
Para calcular el área tomaremos las 4 unidades cuadradas del rectángulo y le restaremos el área bajo la curva.
$$\begin{align}&A=4-\int_0^1 \frac{4}{2-x}dx=\\&\\&\text{Un cambio de signo del denominador evitará muchos líos}\\&\\&=4+4\int_0^1 \frac{dx}{x-2}\\&\\&4 +\bigg[4\,ln|x-2|\bigg]_0^1=\\&\\&4+4\,ln|1-2| - 4\,ln|0-2|=\\&\\&4 +4\,ln\,1 - 4\,ln\,2=\\&\\&4+0 - 4 \,ln\,2=\\&\\&4-4\, ln\,2=\\&\\&\text{Si quieres pon}\\&\\&4 - ln\,16\approx1.227411278\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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Se me olvidó calcular que el límite superior de la integral es 1.
4(2-x) = 4
2-x = 1
x = 1
Te están pidiendo graficar, así que voy a empezar por eso, así de paso tendremos una idea de la región que nos piden
Como se ve, la función g(x) tiene una discontinuidad en x=2.
De esta gráfica, lo que entiendo es que piden el área de la región que sombreé, que sería (y=4) - g(x), o sea A(x) = 4 - 4/(2-x)
Vemos que el extremo inferior de la integral es x=0 y el extremo superior cuando
4 = g(x) --> x = 1
$$\begin{align}&A = \int_0^1 \bigg(4 - \frac{4}{2-x}\bigg) dx= \int_0^1 \bigg(\frac{4(2-x) - 4}{2-x}\bigg) dx= \\&\int_0^1 \bigg(\frac{8-4x - 4}{2-x}\bigg) dx= \int_0^1 \frac{4(1-x)}{2-x} dx= 4\int_0^1 \frac{1-x}{2-x} dx\\&Sustitución: \\&2-x = u \to\\&1-x = u-1\\&dx = -du\\&x=0 \to u=2\\&x=1 \to u=1\\&Retomando...\\&4\int_0^1 \frac{1-x}{2-x} dx=4\int_2^1 \frac{u-1}{u} (-du)\\&\text{Invierto los límites de integración cambiando el signo}\\&4\int_1^2 \frac{u-1}{u} du=4\int_1^2 \frac{u}{u}-\frac{1}{u} du=4\int_1^2 1-\frac{1}{u} du=\\&4(u-ln(u) )\bigg|_1^2=4\bigg((2-ln2)-(1-ln1)\bigg)=4(1-ln2)\end{align}$$Salu2