Derivadas de funciones hiperbolicas inversas?
Y= coth^-1 (csc x)
Y' = ???
Estoy haciendo los ejercicios con las respectivas formulas sin embargo, en la derivada inversa de coth hay una restricción y es |u| > 1 lo que me genera confusión. ¿Cuál seria la derivada del ejercicio anterior?
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Daniella!
Yo no conozco esas derivadas, deja que las deduzca:
$$\begin{align}&coth \,x= \frac{ch\,x}{sh\,x}\\&\\&(coth\,x)'= \frac{sh^2x-ch^2x}{sh^2x}=-\frac 1{sh^2x}\\&\\&\text{Aplicamos la derivada de la función inversa}\\&\\&y = coth^{-1}x\\&\\&x= coth\, y\\&\\&y_x=\frac{1}{x_y}= \frac{1}{-\frac{1}{sh^2y}}=-sh^2y\\&\\&De \\&x=coth\,y\\&tenemos\\&x=\frac{ch\,y}{sh\,y}= \frac{\sqrt{1+sh^2y}}{sh\,y} \\&\\&x^2sh^2y=1+ sh^2y\\&\\&sh^2y =\frac{1}{x^2-1}\\&\\&\text{Luego finalmente}\\&\\&(coth^{-1}x)'= - \frac{1}{x^2-1}= \frac 1{1-x^2}\\&\\&\text {Y la derivada que planteas es}\\&\\&y= coth^{-1}(csc \,x)\\&\\&y' = \frac{1}{1-csc^2x}·(-cot \,x·csc\,x)=\\&\\&-\frac{1}{1-\frac{1}{sen^2x}}·\frac{cosx}{senx}·\frac{1}{senx}=\\&\\&-\frac{sen^2x}{sen^2x-1 }·\frac{\cos x}{sen^2x}= \frac{cosx}{\cos^2x}= \frac 1{cosx}= sec x\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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