Justifica con verdadero o falso cada una de las afirmaciones,justifica tu respuesta.

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¡Hola JB Tech!

Eso sería así si la función cos x fuera siempre positiva en el intervalo [0, pi]

Pero sabemos que dicha función empieza valiendo 1, luego vale 0 para x=pi/2 y acaba valiendo -1 en x=pi

Debemos calcular las áreas en los intervalos [0, pi/2] y [pi/2, pi] y sumarlas, recuerda que las áreas deben ser positivas

$$\begin{align}&A_1 = \int_0^{\pi/2} \cos x dx= sen x\bigg|_0^{\frac \pi 2}= 1-0=1\\&\\&A_2 =\left|\int_{\pi/2}^\pi \cos x dx  \right|=\left| sen x\bigg|_{\frac \pi 2}^\pi \right|=|0-1| = 1\\&\\&\text{Y el área total es 1+1=2}\\&\\&\text{Si lo hubiéramos hecho con la fórmula que dicen}\\&\\&A= \int_0^{\pi} \cos x dx= sen x\bigg|_0^{\pi}= 0-0=0\\&\\&\text{Luego la respuesta es falso}\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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Hola JB Tech!

Entiendo que la función inicialmente está mal copiada y es

y=cosx

La afirmación es Falsa

La función cosx cambia de signo en el intervalo entre x=0 y x= pi, con lo cual el área no se puede calcular directamente como la integral entre 0 y pi, ya que se compensa el valor positivo de la integral definida entre 0 y pi/2, con el negativo de pi/2 a pi, y que como son iguales los dos recintos acaba dando 0

$$\begin{align}&\int_0^{\pi}cosxdx=senx \Bigg|_0^{\pi}=sen \pi-sen0=0\end{align}$$

Para calcular el área habría que descomponer la integral en dos, una para cada recinto, y cuando la función es negativa tomar el valor absoluto:

$$\begin{align}&\int_0^{\pi/2}cosxdx+ \Bigg| \int_{\pi/2}^{\pi}cosxdx \Bigg|=\\&\\&senx \Bigg |_0^{\pi/2}+ \Bigg | \Bigg[senx \Bigg]_{\pi/2}^{\pi} \Bigg |=\\&\\&\Big(sen \frac{\pi}{2} - sen 0 \Big)+ \Big|sen \pi-sen0 \Big|=(1-0)+ |-1-0|=\\&\\&1+|-1|=1+1=2 \ u^2\end{align}$$

saludos

;)

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