Halle las ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva
Halle las ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva y la intersección de las superficies.
X^2 + 4Y^2 + 2Z^2 = 27, X^2 +Y^2 - 2Z^2 = 11 en el punto (3,-2,1)
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Jhon!
Lo que debemos hacer es calcular la intersección en forma de curva paramétrica, entonces es muy fácil calcular el vector derivada y la recta que pasa por ese punto.
$$\begin{align}&x^2+4y^2+2z^2=27\\&x^2+y^2-2z^2=11\\&\\&\text{su}\text{mándolas}\\&\\&2x^2+5y^2 = 38\\&\\&x^2= \frac{38-5y^2}{2}\\&\\&\text{sustituyendo en la segunda}\\&\\&\frac{38-5y^2}{2}+y^2-2z^2=11\\&\\&38-5y^2+2y^2-4z^2=22\\&\\&-3y^2=-16+4z^2\\&\\&y= \pm \sqrt{\frac{16-4z^2}{3}}= \pm 2 \sqrt{\frac{4-z^2}{3}}\\&\\&x^2= \frac{38-5\left(\frac{16-4z^2}{3}\right)}{2}=\frac{114-80+20z^2}{6}=\\&\\&\frac{34+20z^2}{6}= \frac{17+10z^2}{3}\\&\\&x= \pm \sqrt{ \frac{10z^2+17}{3}}\\&\\&\\&f(z)= \left(\pm \sqrt{ \frac{10z^2+17}{3}},\quad \pm 2 \sqrt{\frac{4-z^2}{3}},\quad z\right)\\&\\&\text{la que pasa por (3,-2,1) es}\\&\\&f(z)= \left(\sqrt{ \frac{10z^2+17}{3}},\quad -2 \sqrt{\frac{4-z^2}{3}},\quad z\right)\\&\\&\text{la derivada es}\\&\\&f'(z)=\left(\frac{10z}{\sqrt{ \frac{10z^2+17}{3}}},\quad \frac{2z}{\sqrt{\frac{4-z^2}{3}}},\quad 1 \right)\\&\\&\text{Para z=1 es}\\&\\&f'(1)=\left(\frac{10}{3},\quad 2,\quad 1 \right)\\&\\&\text{del vector solo nos interesa la dirección, podemos dejarlo en}\\&\\&v=(10,6,3)\\&\\&\text{Y la recta tangente es}\\&\\&(x,y,z)=(3,-2,1)+ t(10,6,3)\\&\\&\text{O en paramétricas}\\&\\&x=3 + 10 t\\&y=-2+6t\\&z=1+3t\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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