Calcular el limite si es que existe

Calcular los límites laterales nos ayuda a saber si la función o serie tiene un límite, podría ser una buena idea pero algo molesta y tediosa.

Una mejor idea sería usar el límite general

$$\begin{align}&\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{k}{x}\right)=k\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{x}\right)=k(0)=0\end{align}$$

¿estás de acuerdo?, "k" es cualquier número por eso podemos extraer del límite, y cuando reemplazamos equis por infinito estás de acuerdo que si divido cualquier número para un número extramadamente gigantesco como lo es infinito eso se aporxima demaciado a cero, puedes intentarlo, divide por ejemplo 1 entre 213625376512635176231, y esa divisón te debe dar en notación científica un valr muy cercano a cero,

Ahora, ya sabemos éste fabuloso límite pero ¿còmo hacemos para llegar a ese límite a partir del que tenemos nosotros?, para eso lo que hacemos es dividir el numerador y el denominador para el término

$$\begin{align}&2^x\end{align}$$

Si dividimos arriba y abajo no alteramos nada ¿verdad?, entonces,

$$\begin{align}&\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{(3)2^x+1}{(4)2^x+5}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{\frac{(3)2^x+1}{2^x}}{\frac{(4)2^x+5}{2^x}}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{\frac{(3)2^x}{2^x}+\frac{1}{2^x}}{\frac{(4)2^x}{2^x}+\frac{5}{2^x}}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{3+\frac{1}{2^x}}{4+\frac{5}{2^x}}\right)\end{align}$$

Ahora, sicalculamos ese límite nos va a queda que,

\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{3+\frac{1}{2^x}}{4+\frac{5}{2^x}}\right)=\left(\frac{3+\frac{1}{2^\infty}}{4+\frac{5}{2^\infty}}\right)

Si reemplazas el infinito donde está la variable equis, ¿estas de acuerdo que si infinito es número extramadamente gigantesco, entonces el dos elevado a infinito es como que super recontra extramadamente hiper gigantesco?, entonces palabras más palabras menos, podemos decir que esos términos se hacen cero, por lo tanto nos queda que el límite es igual a tres cuartos. Y eso sería todo.

Hola venia entendiendo todo muy bien, pero justo la ultima parte de la solución no salio,¿podrías reescribir esa parte?

Desde ya gracias!