No sé si está bien calculada el área de la siguiente figura geométrica

Tu error está en que has considerado 2 veces el área del círculo, pero sólo tienes que considerar el círculo de abajo, el de arriba lleva el cono.

Área total = área del círculo + área del cilindro + área lateral del cono.

At = π r ² + (2 π r * h ) + ( √(3² + 4² ) * π * r )

At = 16 π + 96 π + 20 π = 132 π

Sin embargo, yo llego a otro resultado. Revisa la respuesta, porque no veo la forma que salgan decimales

16pi sería el área del círculo, 96pi sería el área del "rectángulo" del cilindro pero el área del cono, no sería la longitud de la circunferencia por la generatriz? Es decir 2.pi.4.5=80pi? Gracias

El área del cono es la generatriz por el radio por π. En el ejercicio 5 * 4 * π = 20π

Lo acabo comprobar aquí http://www.ditutor.com/geometria_espacio/area_cono.html 

Otra vez.

Quizás este sea el origen de la confusión

En esa imagen, está considerada el área total, el área lateral del cono más el círculo que es su base. Pero tú sólo necesitas el área lateral, no el círculo porque eso pertenece al interior de la figura.

A mi me enseñaron a hacerlo desarrollado. Calculo el perímetro de la circunferencia, que es 2.pi.r y lo multiplico por la generatriz...a no ser que haya que dividirlo entre 2(como en el triángulo b.h/2). Entonces sería pi.r.g. Creo que el error es que no lo dividía entre dos, puede ser? Gracias