Hallar los valores de La para la inecuación

;)
Hola ArmandoFlores!

Construyo la parábola:

$$\begin{align}&y=(4-k^2)x^2+(4k-4)x-4\\&\\&Queremos \ resolver:\\&y<0\\&\\&\text {supongamos la parábola cóncava,} \cup==>\\&4-k^2>0\\&k^2<4\\&|k|<2\\&==\\&-2 < k < 2\\&\\&\text{ una parábola cóncava es negativa entre los puntos de corte}\\&por\ lo \ tanto \ la \ parábola \ tendría \ que \ ser \ tipo\\&y=a(x+ \frac 4 5)(x- \frac 4 5)\\&\\&y=a(x^2- \frac{16}{25})\\&y=ax^2-\frac{16a}{25}\\&\text{ no tiene término en x, lo cual es lógico ya que el intervalo solución está centrado en el origen}\\&\text{lo cual equivale a una parábola con b=0 (eje de simétría de la parábola el eje de ordenadas)}\\&\\&Igualando \ las \ dos \ parábolas:\\&(4-k^2)x^2+(4k-4)x-4=ax^2-\frac{16a}{25}\\&Igualando \ los \ coeficientes \ de \ cada\ término:\\&4-k^2=a^2\\&4k-4=0\\&-4=-\frac{16a}{25}\\&\\&De\ la \ segunda:k=1\\&Sustituyendo\ en \ la \ primera:a^2=3==>a= \sqrt 3\\&Sustituyendo \ en \ la \ tercera:\\&4 \neq \frac {16 \sqrt 3}{25}\\&\end{align}$$

No se cumple, lo cual quiere decir que no hay ningún valor de k cuya inecuación satisface ese intervalo solución

Saludos

;)

;)

A ver hasta donde llego yo...

$$\begin{align}&(4-k^2)x^2+(4k-4)x-4<0\\&\text{Encontremos las raíces}\\&x_{1,2}=\frac{-(4k-4) \pm \sqrt{(4k-4)^2-4\cdot(4-k^2)\cdot(-4)}}{2(4-k^2)}\\&Operando...\\&=\frac{-4(k-1) \pm \sqrt{16k^2-32k+16+64-16k^2}}{2(4-k^2)}\\&=\frac{-4(k-1) \pm \sqrt{-32k+80}}{2(4-k^2)}\\&=\frac{-4(k-1) \pm \sqrt{16(-2k+5)}}{2(4-k^2)}\\&=\frac{-4(k-1) \pm 4 \sqrt{(-2k+5)}}{2(4-k^2)}\\&=\frac{-4\bigg((k-1) \pm  \sqrt{(-2k+5)}\bigg)}{2(4-k^2)}\\&=\frac{2\bigg((k-1) \pm  \sqrt{(-2k+5)}\bigg)}{k^2-4}\\&\text{Ahora veamos el discriminante de la raíz (-2k+5)}\\&-2k+5=0 \to k=\frac{5}{2} \text{ (en este caso el sistema tiene una raíz doble, y el resto del polinomio será todo positivo o todo negativo, veamos como queda)}\\&(4-(\frac{5}{2})^2)x^2 + (4\cdot \frac{5}{2}-4)x - 4 = -\frac{9}{4}x^2+6x-4\\&\text{El coeficiente principal es negativo (y como solo tiene una raíz doble), en todo el resto será negativo, veamos el valor de esa raíz doble planteando}\\&-\frac{9}{4}x^2+6x-4=0\\&x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4\cdot(-\frac{9}{4})\cdot(-4)}}{2\cdot(-\frac{9}{4})}=\frac{-6 \pm \sqrt{0}}{-\frac{9}{2}}=\frac{4}{3}\\&\text{Ese valor está fuera del intervalo, así que para K=5/2 la inecuación se satisface para todo x}\\&\text{Ahora veamos que pasa cuando el sistema no tiene raíces reales}\\&-2k+5<0 \to k > \frac{5}{2}\\&Si \ k>5/2 \to \\&4-k^2 <0\\&\text{Por lo tanto el coeficiente principal de la parábola será negativo y al no tener raíces reales significa que }\\&\text{esa parábola es negativa para todos los valores de x (en particular para el intervalo dado)}\\&\text{Finalmente queda para k la condición}\\&-2k+5>0 \to k < \frac{5}{2}\\&\text{En este caso el polinomio tendrá 2 raíces reales distintas y en función del coeficiente principal sabemos que:}\\&Coef\ principal >0: \text{ Forma de } \cup \text{la parte negativa está entre las raíces}\\&Coef\ principal <0: \text{ Forma de } \cap \text{la parte negativa está entre infinito y las raíces}\\&\text{Relacionemos el coeficiente principal con la condición que sabemos de k}\\&Coef\ ppal <0:\\&4-k^2<0 \to k^2 > 4 \to |k| > 2 \text{ pero además k<5/2} \\&\text{Esto define como posibles los intervalos } (-\infty, 2) \cup(2,5/2)\\&\text{A partir de acá habría que ver los valores de x considerando que se mueve en el intervalor (-4/5,4/5)}\\&\text{ y si las raíces del polinomio caen dentro de ese intervalo (*)}\\&Coef\ ppal >0:\\&4-k^2>0 \to k^2 < 4 \to |k| < 2 \text{ pero además k<5/2} \\&\text{Esto define el intervalo } (-2,2), \text{como el intervalo de x es (-4/5,4/5) que está contenido en el }\\&\text{intervalo obtenido recién, vemos que en (-4/5,4/5) el coeficiente de la parábola será positiva}\\&\text{y por lo tanto la parábola será negativa entre las raíces, lo que queda ver es si las raíces están dentro del}\\&\text{intervalo dado o si caen fuera del mismo (*)}\end{align}$$

Faltaría averiguar lo que marqué con (*), pero tengo poco tiempo y la cabeza bastante quemada ya :-)

Salu2

A mí me parece que hay un error. Si tomamos x=0 que está dentro del intervalo

(-4/5, 4/5) por, entonces resulta que se cumple que y < 0 para todo R.

Creo que hay que hallar K en función de x, pero todavía no he podido resolverlo.

Sólo la parte negativa de x, llevando el límite a -4/5, pero eso me da sólo una parte de la solución. Voy a parar porque ya me he bloqueado y no consigo resolver este problema...