Vamos a ver. Sin más datos, daré por hecho que se trata de un Auto de archivo y sobreseimiento provisional, que es el más común. Lo normal es que esa resolución no contenga pronunciamiento sobre costas porque no ha habido más que actos comunes de instrucción (declaraciones). Y discrepo con el compañero en dos puntos:
a) No se debe hablar de denuncia falsa hasta que no recae sentencia condenatoria firme que lo considere acreditado. Es decir, el archivo de una denuncia no necesariamente la convierte en falsa. Si el sobreseimiento es provisional, por ejemplo, significa que puede volver a abrirse la causa si se aportan nuevas pruebas.
b) No cabe reclamar las costas como indemnización de daños y perjuicios por la vía civil. Lo que sí puede hacer es interponer una querella por denuncia falsa y reclamar esa indemnización conjuntamente con la acción penal. En mi opinión, es más lógico acreditar el daño por causa del delito si este se prueba y se condena al denunciante.