1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.
1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad.
De acuerdo a la ecuación diferencial: (d^2y / dx^2) - (dy / dx) - y - e^x = -xe^x, cuál de las siguientes funciones es una solución:
A. Y = -xe^-x
B. Y = xe^-x
C. Y = xe^x
D. Y = -e^x
1 Respuesta
Lo que estás buscando es una Solución particular de la ED (no la solución general). Teniendo los cuatro valores posibles, debes obtener de cada uno de ellos su primera y segunda derivada y sustituir en la ED. Las que respeten la igualdad, serán soluciones particulares.
(d^2y / dx^2) - (dy / dx) - y - e^x = -xe^x,
A. Y = -xe^-x; y'=-[e^(-x)-xe^(-x)]; y"= -{ -e^(-x) - [e^(-x)-xe^(-x)]};
o: y"= e^(-x)+e^(-x)-xe^(-x); reemplazo:
e^(-x)+e^(-x)-xe^(-x) + [e^(-x)-xe^(-x)] +xe^(-x) - e^x= -xe^x:
3e^(-x) -xe^(-x) - e^x= -xe^x:
3/e^x -x/e^x - e^x= -xe^x:
3 -x - e^2x= -xe^2x:
3 -x - e^2x+ xe^2x=0; no válida;
B. Y = xe^-x; y'=e^(-x) - xe^(-x); y"= -e^(-x) - [e^(-x)-xe^(-x)]; reemplazo:
-e^(-x) - e^(-x)+xe^(-x) - e^(-x) + xe^(-x)-xe^(-x) - e^x= -xe^x
-3e^(-x) +xe^(-x) - e^x= -xe^x:
-3/e^x +x/e^x - e^x= -xe^x;
-3 +x - e^2x= -xe2^x;
-3 +x - e^2x +xe2^x = 0; no válida.
C. Y = xe^x; y'=e^x + xe^x; y"=e^x + e^x+xe^x; reemplazo:
e^x + e^x+xe^x - e^x - xe^x - xe^x -e^x = -xe^x
- xe^x = -xe^x; ESTA ES VÁLIDA (Respuesta C)
D. Y = -e^x; igualmente corroboramos la D:
y'=-e^x; y"=-e^x; Reemplazo: -e^x + e^x +e^x - e^x = -xe^x;
0 = -xe^x; no es válida
Resumen final: Respuesta C: y(p)=xe^x es solución particular para tu ED.
