Determine el radio y la altura del cilindro

S=2π rh;

Para el cilindro inscripto en la esfera, tomemos a a=radio de la esfera; r=radio del cilindro (que estará sobre el eje x), y h/2 será nuestro opuesto, formándose un triángulo rectángulo de hipotenusa=a; r=adyacente y h/2=opuesto.

Por Pitágoras:  a^2= r^2 + (h/2)^2;  despejo h:

h= 2√(a^2 - r^2);  reemplazo en la fórmula de la superficie:

S=2π r * 2√(a^2 - r^2);  como debo maximizar S en función de r, derivo:

dS/dr = 4π*{ √(a^2 - r^2) + r*(-2r)/[2√(a^2 - r^2)] };

dS/dr = 4π*{ √(a^2 - r^2) - 2r^2/[2√(a^2 - r^2)] };

dS/dr = 4π*{ [2(a^2 - r^2) - 2r^2]} /[2√(a^2 - r^2)];

dS/dr = 4π*{ [2a^2 -2 r^2 - 2r^2]} /[2√(a^2 - r^2)];

dS/dr = 4π*{ 2[a^2 - 2 r^2]} /[2√(a^2 - r^2)];  igualo a 0:

0 = a^2 - 2r^2;  

a^2= 2r^2;

r^2= a^2 /2;

###  r= a/√2;  o:  r= (a√2) /2;  que es tu primera respuesta.

Reemplazo en:  h= 2√(a^2 - r^2);

h= 2√[a^2 - (a^2/2)];

h= 2√(a^2/2);

###  h= a√2; que es tu segunda respuesta.

¡Gracias!