7. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinariaque tiene un valor especificado que se conoce como la

Primero resuelve la ecuación diferencial usando cualquier método para E.D de orden superior, luego evalúa y(π) = 2 en esa solución, luego la derivas y evalúas y'(π) = 2

𝑦 ′′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10 sin 𝑥, 𝑦(𝜋) = 0, 𝑦′(𝜋) = 2

Para y(h):  m^2 +1 = 0;  m=+-i;

y(h) = Asenx + Bcosx

Para y(p):

y(p1):  4x:  Hacemos y(p) = ax + b;  y ' = a;  y " = 0;

0 + ax+b=4x;  a=4;  y(p1) = 4x;

y(p2):  Ccosx + Esinx;  como son linealmente dependientes de y(h):

y(p2):  Cxcosx + Exsinx;  

#### Queda entonces tu primera respuesta:  y(p) = Ax + B + Cxcosx + Exsinx;  opción 3.

y ' (p2) = C (cosx - xsinx) + E (sinx + xcosx)

y " (p2) = C (-sinx - sinx -xcosx) + E (cosx - cosx - xsinx);  o: 

y " (p2) = C (-2sinx -xcosx) - E xsinx ;

C (-2sinx -xcosx) - E xsinx  + Cxcosx + Exsinx = 10 sinx;

C (-2sinx) = 10 sinx;

C= -5

####   Esta es la y total, y = Asenx + Bcosx + 4x - 5xcosx

Pasemos ahora a los valores iniciales:

0 = AsenPi + BcosPi + 4Pi - 5PicosPi;

0 = 0A + (-1B) + 4Pi - 5pi(-1);  

B=9Pi;

Saco y':  Acosx - Bsenx + 4 - 5(cosx -xsenx);   y ' (pi) = 2:

2 = (-1A) - 0 + 4 - 5 ((-1) 

A= 7;  

###  y = 7senx + 9Picosx + 4x - 5xcosx;   opción 1).