Demostrar que el límite del producto cruz de dos funciones vectoriales es el producto cruz de sus límites
Dadas las funciones vectoriales s1 (t)=f1 (t) i +f2 (t) j +f3 (t) k , s2 (t)=g1 (t) i +g2 (t) j +g3 (t) k , y suponiendo que
Utiliza la fórmula del determinante para productos cruz y la regla del límite del producto para funciones escalares para demostrar que
Es decir, hay que demostrar que el límite del producto cruz de dos funciones vectoriales es el producto cruz de sus límites, si éstos existen.
2 Respuestas
;)
Hola Yani!
Para economizar en la escritura :
Todos los límites son para t-->t0 l serán lim
Las funciones las escribiré en componentes y sin poner la t; el subíndice es el numero
s1(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))=(f1,f2,f3)
s2(t)=(g1,g2,g3)
lim s1(t)=(limf1, limf2, limf3)=(a1,a2,a3)
lim s2(t)=(limg1,limg2,limg3)=(b1,b2,b3)
lim [s1(t)xs2(t)]= lim Det |( i j k),( f1 f2 f3),( g1 g2 g3) |= entre paréntesis cada fila del determinante
lim (f2g3-f3g2 , f3g1-f1g3, f1g2-f2g1)=
(limf2·limg3 - limf3·limg2 , limf3·limg1- limf1·limg3 , limf1·limg2-limf2·limg1)=
=(a2b3-a3b2 , a3b1-a1b3 , a1b2-b2a1)=
= Det |( i j k) (a1 a2 a3) (b1 b2 b3)|=
(limf1, limf2, limf3) X (limg1, limg2, limg3)= AXB c.q.d
c.q.d. como queríamos demostrar
Saludos
;)
;)
;)
Muy correcta y bien desarrollada la respuesta de Lucas m (votada).
Sólo agregaré algo general para operaciones con límites: cuando tenemos funciones continuas (el límite existe y su valor y el valor en el punto coinciden), el límite de la operación es igual a la operación de los límites. En este caso del producto cruz, tenemos productos y restas, por lo que es válido lo anterior.