Como se realiza el ejercicio del valor medio de una función.
1- Encuentre el valor promedio de las siguientes funciones sobre el intervalo indicado:
2- Encuentre c, tal que de las funciones a y b del punto 2, y grafique f y el rectángulo cuya área es la misma que el área bajo la gráfica de f. Recuerda apoyarte de Geogebra para graficar.
1 respuesta
Te dejo las gráficas de Geogebra de tarea
$$\begin{align}&\text{En general el promedio de una función en un intervalo se calcula como}\\&\overline{f(x)} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx\\&1.a) f(x) = \sqrt{x} ; [0, 4]\\&\overline{f(x)} = \frac{1}{4-0}\int_0^4 \sqrt{x} dx = \frac{1}{4} \frac{x^{3/2}}{3/2} \bigg|_0^4=\\&\frac{1}{6}(4^{3/2}-0^{3/2}) = \frac{1}{6}\cdot 8 = \frac{4}{3}\\&---\\&1.a) f(x) = x^2 \sqrt{1+x^3} ; [0, 2]\\&\overline{f(x)} =\frac{1}{2-0}\int_0^2 x^2 \sqrt{1+x^3} dx\\&\text{Uso sustitución}\\&1+x^3 = u\\&3x^2 dx = du \to x^2dx = \frac{du}3\\&x = 0 \to u=1\\&x=2 \to u=9\\&...\\&=\frac{1}{2} \int_1^9 \sqrt{u} \frac{du}{3} = =\frac{1}{6} \int_1^9 \sqrt{u} \ du = \frac{1}{6} \frac{u^{3/2}}{3/2} \bigg|_1^9=\\&\frac{1}{9} (9^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{26}{9}\\&---\\&2) \text{ Hallar el punto c}\\&a)\\&c \cdot 4 = \frac{4}{3} \to c = \frac{1}{3}\\&b)\\&c \cdot 2 = \frac{26}{9} \to c = \frac{13}{9}\end{align}$$Como dije, te quedan las gráficas.
Salu2
Buenos días profe. Gustavo.
Quisiera saber si me quedo bien la gráfica del primer ejercicio.
Saludos.
Viendo tu respuesta me doy cuenta que te pasé mal los resultados del punto 'C'
El valor de C que te piden es el que, multiplicado por la base, te de como resultado el mismo valor que el área.
El tema es que el área sale directamente de la integral y no de la función 'promedio'. Así que voy a calcular nuevamente el valor de C para el primer caso (te dejo de ejercicio el 2° pero es muy parecido)
$$\begin{align}&1.b) \\&\text{El área es directamente la integral (\sin dividirla por la longitud del intervalo)}\\&\text{O lo que es lo mismo, me quedo con el promedio y lo multiplico por el ancho del intervalo}\\&\text{Dicho esto:}\\&Area = \overline{f(x)} \cdot LongIntervalo = \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{16}{3}\\&c \cdot LongIntervalo = Area \\&c \cdot 4 = \frac{16}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3}\end{align}$$Visto estos calculos nuevos te diría que tu gráfico está correcto (lo único que agregaría es un recta horizontal que pase por el punto C)
Salu2