Usando el teorema del valor medio demostrar que |sen x|<=|x|
Con frecuencia se admite como valida la desigualdad |sen x|<=|x| pero nunca he visto una demostración. Recientemente la encontré como un problema explicito, tal como la he escrito.
Respuesta de Karl Mat
1
Como se sabe la función seno está definida en toda la recta real y además es diferenciable infinitas veces en toda recta real. Sea el conjunto A = [0, z] (z ∈ ℝ⁺) y un p ∈ int A, según el teorema del valor medio tenemos
$$\begin{align}&\left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=p}=\frac{\sin z-\sin 0}{z-0}\\&\\&\cos p=\frac{\sin z}{z}\\&\\&-1\leq \frac{\sin z}{z}\leq 1\\&\\&-z\leq \sin z\leq z\\&\\&|\sin z|\leq z\end{align}$$De forma análoga sea hace para un conjunto B = [v , 0] (v ∈ ℝˉ ) y un q ∈ int B.
Para x = 0 se obtiene la igualdad.
□□□
