Ecuación diferencial de Cauchy Euler

Una ecuación diferencial es una ecuación de euler cuando las derivadas están siendo multiplicadas una constante y por x elevado a una potencial igual al de la derivada

Esta es efectivamente una de esas, y'' tiene el x^2, y' tiene el 5x, el y tiene el 4x^0=4

Se supone que la función solución tiene la forma y(x)=x^r

Sustituyendo esa función solución en la ecuación que nos pide

$$\begin{align}&x^2(x^r)´´+5x(x^r)´+4x^r=0\\&r(r-1)x^2x^{r-2}+5rxx^{r-1}+4x^r=0\\&r(r-1)x^r+5rx^r+4x^r=0\\&x^r\bigg[ r^2-r+5r+4   \bigg]=0\\&x^r\bigg[ r^2+4r+4   \bigg]=0\\&\end{align}$$

Ademas se asume que x es distinto de cero por lo que la única forma que eso sea igual a cero es que lo otro sea igual a cero

r^2+4r+4=0

(r+2)^2=0

r=-2

Ahora como  son raíces repetidas(r1=-2 y r2=-2) la solución es de la forma

y(x)=x^r(c1+c2lnx)

Por lo que la solución es

$$\begin{align}&x^{-2}(c_1+c_2lnx)\end{align}$$