Determina si la matriz A es diagonalizable

1) La matriz es simétrica( Sin tomar en cuenta los elementos de la diagonal los otros valores son como un espejo(?), el cero que esta en una esquina también lo esta del otro lado), estas son siempre diagonalizables. Pero bueno, para saber si es diagonalizable la multiplicidad algebraica de cada valor propio(característico) debe ser igual a la multiplicidad geométrica de sus vectores propios correspondientes

2) Si es posible, y se dice que A y D son matrices semejantes

Fijate que despejando D=C^-1AC nos queda

A=C^-1DC, lo unico que se necesita es que D sea una matriz formado por los valores propios de A

Hallemos valores propios viendo cuando el determinante |vI-A|=0 (v es el valor propio)

|v-2   -1        0|

|-1     v-2     -1|

|0       -1    v-2|

(v-2)^3-(v-2+v-2)=

v^3-6v^2+12v-8-2v+4=

v^3-6v^2+10v-4=0

v=2

v=2-√2

v=2+√2

Una forma de ver si los valores propios obtenidos pueden estar buenos es viendo que la suma de ellos te debe dar la suma de los elementos de la diagonal de la matriz original, y la multiplicación de ellos te debe dar el determinante de la matriz original. Digo pueden estar buenos porque puede ser que por casualidad ambos valores coinciden pero pusiste uno mal. Pero es poco probable, si se cumplen ambas deberían estar buenos

Ahora hallar los vectores propios. Primero quiero hacer hincapié en que cada valor propio aparece una vez como raíz, no hay ninguna raíz repetida por lo que cada valor tiene una multiplicidad algebraica 1, si hubiera algún valor que sea raíz más de una vez tiene multiplicidad igual al numero de veces que aparece

Para hallar los vectores propios hay que hallar el espacio nulo(kernel, núcleo) de la matriz (vI-A)

v=2

v=2

0       -1       0 
-1       0      -1  =  f3->f3-f1
0        -1      0

0       -1       0 
-1       0      -1  =
0        0      0

-x-z=0

x=-z

y=0

(-z, 0, z) span<(-1,0,1)> (la tercera columna no tiene pivote, la tomamos para escribir las otras variables con respecto a ella)También podemos comprobar el resultado (-1,0,1) viendo si satisface que las tres expresiones de abajo, dan cero. Si lo hacen (Una ventaja de este tipo de ejercicios es que es sencillo comprobar si lo que haces està bien)

0       -1       0 
-1       0      -1  
0        -1      0

La dimensión del espacio nulo es 1, por lo que tiene multiplicidad geométrica 1 que coincide con la multiplicidad algebraica de su valor propio.

v=2-√2

- √2     -1        0 
-1       - √2     -1  = f1<->-f2 
0         -1      - √2

1       √2          1 

- √2     -1        0  = f2->f2+√2 f1   

0         -1      - √2

1       √2          1 

0        1          √2= f2->f2+f3

0         -1      - √2

1     √2       1

0     0        0

0     -1  - √2

-y-√2z=0

y=-√2z

x+√2 y+z=0

x-2z+z=0

x=z

(z,-√2z, z); span<(1,-√2,1)>, tiene multiplicidad geométrica 1 que coincide con la multiplicidad algebraica del valor. Igual puedes comprobar que este vector satisface que dan cero las de abajo

- √2     -1        0 
-1       - √2     -1  
0         -1      - √2

v=2+√2

 √2     -1        0 
-1       √2     -1  = f2->f1+√2 f2
0         -1      √2

 √2     -1        0 
0         1        -√2=f3->f3+f2
0         -1      √2

 √2     -1        0 
0         1        -√2

0        0         0

y=√2z

√2x-√2z=0

x=z

(z,√2z, z)... <(1,√2, 1)>, mutliplicidad geometrica 1, coincide con multiplicidad algebraica del valor propio. Igual puede comprobar

Ahora vamos a escribir los valores propios y vectores propios

v=2   span<(-1,0,1)>

v=2-√2   span<(1,-√2,1)>

v=2+√2    span<(1,√2, 1)>

A=PDP^-1

P es la matriz que tiene como columna los vectores propios, y D es una matriz diagonal con los valores propios como elementos, Ahora hay que hallar P y P^-1 pero hay una caracteristica que tienen las matrices simetricas y es que pueden ser diagonalizables por una matriz ortogonal, por lo que hallar la inversa es mas sencillo

v=2   span<1/√2(-1,0,1)>

v=2-√2   span<1/2(1,-√2,1)>

v=2+√2    span<1/2(1,√2, 1)>

(Estoy dividiendo entre la norma de cada vector para que sean de longitud 1) P^-1 va a ser P traspuesta, ya que son ortogonales

A=

|-1/√2      1/2       1/2  |        | 2          0           0     |          | -1/√2        0          1/√2 |

|0       -√2/2        √2/2 |          |0       2-√2         0    |   .      |   1/2      -√2/2      1/2   |

|1/√2       1/2         1/2|          |0          0       2+√2 |          |  1/2        √2/2      1/2   |

A^-1=(PDP^-1)^-1

A^-1=(P^-1)^-1D^-1P^-1

A^-1=PD^-1P^-1

Aplique el hecho que la inversa de un producto de matrices consiste en voltear el orden de matrices y poner sus inversas. Queda prácticamente igual a la expresión original A=PDP^-1, es solo hallar la inversa de D, pero D es una matriz diagonal, y su inversa es solo invertir sus elementos de la diagonal.

D^-1=     

1/2           0           0

0       1/(2-√2)       0

0             0           1/(2+ √2)

Solo queda hacer la multiplicacion de matrices PD^-1P^-1

Nos da de resultado

3/4      -1/2      1/4

-1/2       1         -1/2

1/4        -1/2     3/4

Y esa es A^-1

4)A^n=PD^nP-1

Al igual que el caso de la inversa, lo único que cambia es que D esta elevado a la n, y como es diagonal es solo elevar todos sus elementos a la n en este caso 10. Como esto esta muy largo ya, no se si lo vas a entender porque hayyy muchas cosas, voy a dar el resultado de 1 pero creo que se entiende que hay que elevar los elementos

A^10=

54320 76096 53296

76096 107616 76096

53296        76096    54320