Ecuaciones diferenciales separables¿ Como se hace?

Te puedo ayudar pero no ahorita. Tengo una duda por si alguien puede darte una respuesta temprana. En la a, la x solo está dividiendo el y^2 verdad y la y que está a la derecha está sumando, ¿no está en el denominador con la x?

¡Gracias! 

La primera es una exacta, veamos por qué

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=-\frac{1+y^2}{x+y}(x+arctan y)\\&\frac{x+y}{1+y^2}\frac{dy}{dx}=-(x+arctan y)\\&(x+arctan y)+\frac{x+y}{1+y^2}\frac{dy}{dx}=0\\&M(x,y)=(x+arctan y)\\&N(x,y)=\frac{x+y}{1+y^2}\frac{dy}{dx}\\&M_y=\frac{1}{1+y^2}\\&N_x=\frac{1+y^2}{(1+y^2)¨2}=\frac{1}{1+y^2}\\&M_y=N_x\end{align}$$

Solo queda resolver una, voy a elegir M, y diferenciarla con respecto a x (si escoges N diferencias con respecto a Y), luego la constante es una funcion con respecto a la otra variable (en mi caso y), diferenciando esa funcion con respecto a y, esto debe ser igual a N, asi hayamos la constante y tendremos la funcion

$$\begin{align}&F=\int M dx=\int x+ arctan y \ dx=\frac{x^2}{2}+xarctan(y)+h(y)\\&F_y=\frac{x}{1+y^2}+h'(y)=N\\&\frac{x}{1+y^2}+h'(y)=\frac{y+x}{1+y^2}\\&h'(y)=\frac{y}{1+y^2}\\&h(y)=\int \frac{y}{1+y^2}= \frac{1}{2} ln|1+y^2|\\&Sol=\frac{x^2}{2}+xarctan(y)+ \frac{1}{2} ln|1+y^2|=c\\&\end{align}$$

Pudiste haber integrado N con respecto a y; luego el resultado tendra una funcion con respecto a x como constante, el resultado lo derivas e igualas a M para hallar cuanto vale esa funcion con respecto a x; te va a salir lo mismo

$$\begin{align}&xy \frac{dy}{dx} = y^2+x(4x^2+y^2)^{1/2}\\&\frac{dy}{dx}=\frac{y^2+x(4x^2+y^2)^1/2}{xy}\\&y=xv\\&y'=v+xv'\\&\\&v+xv'=\frac{x^2v^2+x(4x^2+x^2v^2)^{1/2}}{x^2v}\\&v+xv'=\frac{v^2+(4+v^2)^{\frac{1}{2}}}{v}\\&xv'=\frac{(4+v^2)^{\frac{1}{2}}}{v}\\&x \frac{dv}{dx}=\frac{(4+v^2)^{\frac{1}{2}}}{v}\\&\int \frac{v}{(4+v^2)^{\frac{1}{2}}} dv=\int \frac{1}{x}dx\\&\sqrt{4+v^2}=ln x\\&4+v^2=(\ln x)^2\\&v=\sqrt{(\ln x)^2-4}\\&\frac{y}{x}=\sqrt{(\ln x)^2-4}\\&y=x \sqrt{(\ln x)^2-4}\end{align}$$

Me falto la constante c en la segunda,

4+v^2=(lnx+C)^2

v=sqrt((lnx)^2+2lnx+C^2-4)

v=sqrt((lnx)^2+2lnx+C_1)

y=xsqrt((lnx)^2+2lnx+C_1)