Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o a

Vamos a dividir este ejercicio en algunas partes. Primero, hallar la coordenada Y del centro de masas, luego calcular el momento de inercia respecto al eje por de la figura, luego usar el teorema de steiner de ejes paralelos para hallar el momento desde el centro de masas y usarlo de nuevo para hallar el momento desde y=a. NOTA: Quizás halla una manera más directa(lo más seguro es que si), pero no se me ocurre como poner los intervalos de integración de una manera general(porque y=a puede estar dentro de la figura, fuera, en el eje, etc), y esta manera me parece un poco más intuitiva, sin procedimientos extraños

$$\begin{align}&\text{Coordenada Y centro de masas,la integral es la siguiente}\\&\\&y_{cm}=\frac{1}{M}\int y \, dm\\&\\&M=\int dm=\int \int \rho \, dA= k \int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{x}} x dydx=k \int_{0}^{4} x^{\frac{3}{2}} \, dx\\&\frac{2k}{5}x^{\frac{5}{2}}\bigg]_{0}^{4}=\frac{64k}{5}\\&\\&y_{cm}=\frac{5}{64k} k\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{x}} yx dydx=\frac{5}{128}\int_{0}^{4}x^2 dx=\frac{5}{384}x^3\bigg]_{0}^{4}=\frac{5}{6}\\&\\&\text{momento de inercia respecto eje x}\\&\\&I_x=\int y^2dm=k\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{x}}y^2xdydx=\frac{k}{3}\int_{0}^{4}x^{\frac{5}{2}} \, dx=\frac{2}{21}x^{\frac{7}{2}}\bigg]_{0}^{4}=\frac{256}{21}\\&\\&\text{ejes paralelos }\\&I_x=I_{x'}+Ar^2\\&\text{I_x es un eje cualquiera horizontal, I_x' es el eje que pasa por el centro de masa, A es el area de la figura y r es la distancia que hay entre los dos ejes, nos falta entonces hallar el area ya que la distancia entre el eje x y el centro de masa es la coordenada y del centro que ya lo calculamos}\\&\\&A=\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{x}} dydx=\int_{0}^{4} \sqrt{x}\, dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\bigg]_{0}^{4}=\frac{16}{3}\\&I_x=\frac{256}{21}=I_{x'}+\frac{16}{3}\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^2\\&Ix'=\frac{1604}{189}\\&\text{Usamos de nuevo el teorema para hallar el centro de masa con respecto a la recta y=a que se encontrara a una distancia a-5/6}\\&I_{xa}=I_{x'}+A(r^2)\\&I_{xa}=\frac{1604}{189}+\frac{16}{3}\bigg(a-\frac{5}{6}\bigg)^2\end{align}$$